kąty w trójkącie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kąty w trójkącie
Wykaż że jeśli a,b i c są długościami boków trójkąta ostrokątnego takimi że a<b<c oraz \(\alpha, \beta , \gamma\) są miarami kątów tego trójkąta leżącymi odpowiednio na przeciwko boków a,b,c to \(tg\alpha<tg\beta< tg\gamma\)
Nie wiem, czy to będzie wystarczające uzasadnienie.
Z twierdzenia sinusów:
\(\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}\)
Ponieważ wszystkie występujące tu wielkości są dodatnie, więc jeśli a<b<c, to \(sin\alpha<sin\beta<sin\gamma\),
a ponieważ w przedziale \((0;\frac{\pi}{2})\) funkcja sinus jest rosnąca, to wynika stąd: \(\alpha<\beta<\gamma\).
Ponieważ w tym przedziale funkcja tangens też jest rosnąca, więc \(tg\alpha<tg\beta<tg\gamma\)
Z twierdzenia sinusów:
\(\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}\)
Ponieważ wszystkie występujące tu wielkości są dodatnie, więc jeśli a<b<c, to \(sin\alpha<sin\beta<sin\gamma\),
a ponieważ w przedziale \((0;\frac{\pi}{2})\) funkcja sinus jest rosnąca, to wynika stąd: \(\alpha<\beta<\gamma\).
Ponieważ w tym przedziale funkcja tangens też jest rosnąca, więc \(tg\alpha<tg\beta<tg\gamma\)