Prosta i Parabola

[saturnus_30]

1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt ( 0,0) której odległość od punktu A (-3.-4) wynosi 3
2. Na paraboli o równaniu x^2 dane są punkty o odciętych x1=1 i x2=3. Przez podane punkty poprowadzono sieczną k. Prosta l ktora jest prostopadla do k jest styczna do paraboli w punkcie A. Oblicz współrzędne punktu A

[irena]

1.

Jeśli prosta przechodzi przez punkt (0;0), to jej równanie kierunkowe to y=ax, a ogólne ax-y=0.

\(3=\frac{|-3a+4|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}\\|-3a+4|=3\sqrt{a^2+1}\\(-3a+1)^2=9(a^2+1)\\a=\frac{7}{24}\\y=\frac{7}{24}x\\7x-24y=0\)

[irena]

2.
Prosta k przechodzi przez punkty P=(1;1) i Q=(3;9). równanie prostej k:

\(\frac{y-1}{x-1}=\frac{9-1}{3-1}\\4x-y-3=0\)

Prosta l jest prostopadła do k, więc jej równanie: x+4y+C=0. Jest prosta styczną do paraboli, więc układ równań:

\(\begin{cases}x+4y+C=0\\y=x^2\end{cases}\)

ma dokładnie jedno rozwiązanie

\(x+4x^2+C=0\\4x^2+x+C=0\\\Delta=1-16C=0\\C=\frac{1}{16}\\4x^2+x+\frac{1}{16}=0\\x_0=-\frac{1}{8}\\y_0=\frac{1}{64}\)

\(A=(-\frac{1}{8};\ \frac{1}{64})\)