Wykaż że

[karka170]

Wykaż, że jeżeli \(A,B \subset \Omega\) oraz \(P(A)= \frac{1}{4} i P(B)= \frac{1}{3}\) , to \(\frac{1}{3} \le P(A \cup B) \le \frac{7}{12}\) i \(P(B-A) \ge \frac{1}{12}\)

[irena]

\((A \subset (A \cup B) \Rightarrow P(A \cup B) \ge P(A) \Rightarrow P(A \cup B) \ge \frac{1}{4})\ \wedge \ \\ \wedge (B \subset (A \cup B)\Rightarrow P(A \cup B) \ge P(B) \Rightarrow P(A \cup B) \ge \frac{1}{3})\ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow P(A \cup B) \ge \frac{1}{3}\\P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \Rightarrow\ P(A \cup B) \le P(A)+P(B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}\)

Stąd:
\(\frac{1}{3} \le P(A \cup B) \le \frac{7}{12}\)

\(B=(B \setminus A) \cup (A \cap B)\ \wedge ((B \setminus A) \cap (A \cap B)= \emptyset ) \Rightarrow P(B)=P(B \setminus A)+P(A \cap B) \Rightarrow \\ \Rightarrow P(B \setminus A)=P(B)-P(A \cap B)\\(P(A \cap B) \le P(A)=\frac{1}{4}) \wedge (P(A \cap B) \le P(B)=\frac{1}{3}) \Leftrightarrow( P(A \cap B) \le \frac{1}{4}) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow P(B \setminus A) \ge P(B)-P(A)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\)

[moniaw094]

dlaczego jak mam rownanie
\(P(A \cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
usuwam \(P(A \cap B\)
i pozniej jest \(P(A \cup B) \le ...\) w ogole nie wiem skad to sie bierze. prosze o wytlumaczenie

[irena]

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cap B)\ge0\\P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le P(A)+P(B)\\P(A\cup B)\le P(A)+P(B)\)

[moniaw094]

nie rozumiem tych 4 ostatnich linijek na jakiej podstawie to jest obliczone. Prosze powtornie o pomoc aby to wytlumaczyc krok po kroku

[irena]

Nie rozumiesz tego, co napisałam teraz? Czy ostatnich linijek w dawnym rozwiązaniu zadania?

[moniaw094]

w dawnym rozwiazaniu

[irena]

Może tak:
\(B\setminus A=B\setminus(A\cap B)\\P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B)\)

\((A\cap B) \subset A\\P(A\cap B)\le P(A)\)

\(P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B)\ge P(B)-P(A)\)

\(P(B\setminus A)\ge\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\)