Rosnący ciąg geometryczny (An) ma parzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, a ich suma jest 5 razy większa od sumy o numerach nieparzystych.
a) Wyznacz iloraz ciągu (An) .
b) Wiedząć dodatkowo, że iloczyn dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 1024^32 , wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.
Ciąg geometryczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a)
Z treści zadania wiemy, że q>0 i \(a_1>0\). Wyrazy o nieparzystych numerach tworzą ciąg o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q^2\). Wyrazów tego ciągu jest \(\frac{n}{2}\).
Jeśli q=1, wówczas byłoby, że suma wszystkich wyrazów byłaby 5 razy większa od sumy połowy wyrazów, co jest niemożliwe. Przyjmijmy więc, że \(q\neq1\).
Suma wyrazów ciągu z zadania \(S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\).
Suma wyrazów o nieparzystych numerach wynosi \(S'=a_1\cdot\frac{1-(q^2)^{\frac{n}{2}}}{1-q^2}=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q^2}\)
\(a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}=5\cdot\ a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q^2}\\\frac{1}{1-q}=\frac{5}{1-q^2}\\q^2-5q+4=0\\q=1\vee\ q=4\).
q=4.
b)
\(1+2+3+...+18+19=\frac{1+19}{2}\cdot19=190\)
\(1024^{32}=(2^{10})^{32}=2^{320}\)
\(a_1\cdot\ a_2\cdot\ a_3\cdot...\cdot\ a_{19}\cdot\ a_{20}=a_1^{20}\cdot\ q^{190}=a_1^{20}\cdot4^{190}=a_1^{20}\cdot2^{380}\\a_1^{20}\cdot2^{380}=1024^{32}=2^{320}\\a_1^{20}=2^{-60}\\a_1=2^{-3}\\a_1=\frac{1}{8}\)
Z treści zadania wiemy, że q>0 i \(a_1>0\). Wyrazy o nieparzystych numerach tworzą ciąg o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q^2\). Wyrazów tego ciągu jest \(\frac{n}{2}\).
Jeśli q=1, wówczas byłoby, że suma wszystkich wyrazów byłaby 5 razy większa od sumy połowy wyrazów, co jest niemożliwe. Przyjmijmy więc, że \(q\neq1\).
Suma wyrazów ciągu z zadania \(S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\).
Suma wyrazów o nieparzystych numerach wynosi \(S'=a_1\cdot\frac{1-(q^2)^{\frac{n}{2}}}{1-q^2}=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q^2}\)
\(a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}=5\cdot\ a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q^2}\\\frac{1}{1-q}=\frac{5}{1-q^2}\\q^2-5q+4=0\\q=1\vee\ q=4\).
q=4.
b)
\(1+2+3+...+18+19=\frac{1+19}{2}\cdot19=190\)
\(1024^{32}=(2^{10})^{32}=2^{320}\)
\(a_1\cdot\ a_2\cdot\ a_3\cdot...\cdot\ a_{19}\cdot\ a_{20}=a_1^{20}\cdot\ q^{190}=a_1^{20}\cdot4^{190}=a_1^{20}\cdot2^{380}\\a_1^{20}\cdot2^{380}=1024^{32}=2^{320}\\a_1^{20}=2^{-60}\\a_1=2^{-3}\\a_1=\frac{1}{8}\)