ZESPOLONA część liniowa odwzorowania

[bombonka]

Mam zadanie : Wyznaczyć część liniową odwzorowania w=z^2 w otoczeniu punktu z=i.
Jak je rozwiązać ??? oze ktoś pomoże

[octahedron]

\(f(i+\Delta z)-f(i)=(i+\Delta z)^2-i^2=2i\Delta z+(\Delta z)^2
\Delta z=z-i
f(z)=-1+2i\cdot(z-i)+(z-i)^2\)

Można to zresztą dostać wprost z rozwinięcia Taylora

[bombonka]

A jak oszacować błąd jaki popłniamy zastępując w kole |z-i|< 1/10 funkcję z^2 przez jej część liniową ???

[bombonka]

\(f(i+\Delta z)-f(i)=(i+\Delta z)^2-i^2=2i\Delta z+(\Delta z)^2
\Delta z=z-i
f(z)=-1+2i\cdot(z-i)+(z-i)^2\)

Można to zresztą dostać wprost z rozwinięcia Taylora

A tak łopatologicznie to skąd to dostajemy bo zielona jestem ?

[octahedron]

\(f(z)=z^2=-1+2i(z-i)+(z-i)^2
\tilde{f}(z)=-1+2i(z-i)
\|f(z)-\tilde{f}(z)\|=\|(z-i)^2\|=|z-i|^2\le \(\frac{1}{10}\)^2=\frac{1}{100}\)

A szereg Taylora jest taki:

\(f(z)=f(z_o)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^{(n)}(z_o)}{n!}(z-z_o)^n\)

Dla \(f(z)=z^2\) wszystkie pochodne powyżej drugiego stopnia są zerem, więc wychodzi tak jak napisałem.