domkniętym.
Dowód
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
monikaworld1
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 05 mar 2013, 20:46
- Podziękowania: 2 razy
- Płeć:
Dowód
Wykazać, że w dowolnej przestrzeni metrycznej każdy zbiór jednoelementowy jest zbiorem
domkniętym.
domkniętym.
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
raczej topologia zamiast matematyki dyskretnej...
Niech \((M,d)\) bedzie przestrzenia topologiczna z metryka.
Zbior \(\{x\}\subset M\) jest domkniety wtedy i tylko wtedy gdy \(M\setminus \{x\}\) jest otwarty.
Wezmy \(y\in M\setminus \{x\}\) oraz niech \(r=d(x,y)\) na mocy definicji metryki mamy \(r=d(x,y)\ge 0\) ale wtedy \(x\not\in B(y,r)\) gdzie \(B(y,r)\) jest kula owarta w srodku w y i promieniu r. Zatem \(M\setminus \{x\}\) jest owarty a zatem \(\{x\}\) jest domkniety.
Z kolei np w topologii dyskretnej kazdy singleton jest zarowno dokmniety jak i otwarty
Niech \((M,d)\) bedzie przestrzenia topologiczna z metryka.
Zbior \(\{x\}\subset M\) jest domkniety wtedy i tylko wtedy gdy \(M\setminus \{x\}\) jest otwarty.
Wezmy \(y\in M\setminus \{x\}\) oraz niech \(r=d(x,y)\) na mocy definicji metryki mamy \(r=d(x,y)\ge 0\) ale wtedy \(x\not\in B(y,r)\) gdzie \(B(y,r)\) jest kula owarta w srodku w y i promieniu r. Zatem \(M\setminus \{x\}\) jest owarty a zatem \(\{x\}\) jest domkniety.
Z kolei np w topologii dyskretnej kazdy singleton jest zarowno dokmniety jak i otwarty
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)