Zadania

[karolcia91angel]

zadanie 1
a ) zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedzialu zbior wszystkich liczb rzeczywistych ktorych odleglosc na osi liczbowej od liczby -1 jest nie wieksza niz 4

b ) liczba 6.5 stanowi 175 % liczby a sprawdz czy liczba a nalezy do danego przedzialu

zadanie 2 miejsce zerowe wielomianu W (X) 2x do trzeciej +ax do drugiej - 6x jest liczna - 1
a) oblicz wspolczynik a
b ) wyznacz pozostale miesjca zerowe tego wielomianu
zadanie 3 pole rombu jest rowne 60 cm kwadratowych dluzsza przekatna romby podzielila kat ostry rombu na tekie dwa katy o mierze a ze tga = 8/15 oblicz dlugosc boku rombu

zadnie 4 wykresem funkcji kwadratowej f jest parobola ktroej wierzcholkiem jest punkt W (1,4) najmniejsza wartosc funkcji f w przedziale (-2,,30 wynosi -5
a przedstaw wzor funkcji f w postaci iloczynowej
b rozwiaz nierownosc f (x) < 0

[escher]

1a) Na osi nie zaznaczę (trzeba poczekać na golonkę), ale chodzi o przedział \([-5,3]\)
b)
Skoro \(6.5=\frac{175}{100}a\), to \(a=6.5\cdot \frac{100}{175}=\frac{26}{7} >3\). Zatem liczba a nie należy do danego przedziału.

2a) Twierdzenie Bezouta mówi, że jeśli -1 jest miejscem zerowym wielomianu W, to W dzieli się bez reszty przez (x+1).
Mamy \(W(x)=2x^3+ax^2-6x=x(2x^2+ax-6)=x(x+1)(2x+c)=2x^2+(c+2)x^2+cx\). Współczynnik c z jednej strony jest równy -6, bo musi sie zgadzać współczynnik przy x, a z drugiej strony patrząc na spółczynnik przy \(x^2\) mamy \(a=c+2=-4\).
b) Z rozkładu, który napisałem już powyżej widać, że pozostałymi miejscami zerowymi są 0 i 3.

3. Oznaczmy połówkę krótszej przekątnej rombu przez \(8x\). Wtedy połówka dłuższejprzekątnej ma długość \(15x\), bo \(tg a\) to stosunekdługości tych odcinków. Pole rombu jest zatem równe \(\frac{1}{2}\cdot 16x\cdot 30 x = 240x^2\). Stąd \(x^2=\frac{1}{4} \Rightarrow x=\frac{1}{2}\).
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy bok rombu \(a=\sqrt{4^2+(\frac{15}{2})^2 } =\sqrt{\frac{289}{4}}=\frac{17}{2}\)

4. Wydaje się, że chodzi o przedział [-2,3] domknięty w lewym końcu, bo inaczej f nie przyjmowałaby na tym przedziale wartości najmniejszej. (a dla 30 w prawym końcu wychodzą brzydkie wyniki).
Spróbujmy obliczyć wzór na f, który ogólnie wygląda tak: \(f(x)=ax^2+bx+c\). Korzystając ze współrzędnych wierzchołka mamy \(-\frac{b}{2a}=1 \Rightarrow b=-2a\) i \(4=f(1)=a-2a+c=4 \Rightarrow c=a+4\).
Teraz wykorzystamy informację o najmniejszej wartości. Po pierwsze jest mniejsza niż wartość w wierzchołku, więc a jest ujemne, ale to niewiele daje. Wartość najmniejsza musi być przyjmowana w końcu przedziału, który leży dalej od wierzchołka, zatem \(-5=f(-2)=4a+4a+a+4 \Rightarrow a=-1\). Mając wzór funkcji \(f(x)=-x^2+2x+3\) łatwo podajemy odpowiedzi na zadane pytania
a. \(f(x)=-(x+1)(x-3)\)
b. \(x<-1 \vee x>3\)

escher

[supergolonka]

Jak się chwilkę poszuka, to okazuje się wszystkie te zadania już tu kiedyś były.
http://www.zadania.info/1047574
http://www.zadania.info/767329
http://www.zadania.info/515099
http://www.zadania.info/7314190

[kumaj]

Nierówność |x-a|<b jest prawdziwa dla tych wszystkich x które od a są odległe o mniej niż b.

Jeżeli odległość odleglosc na osi liczbowej od liczby -1 jest nie wieksza niz 4 to rysujesz -1 i liczysz na lewo 4 i na prawo 4. Opisujesz taki zbiór: |x+1|<lub= 4. (szlag mnie trafia , nie możecie jakość załatwić możliwości wstawiania symboli?). Czyli, tak jak już wiadomo <-5,3>.

[supergolonka]

wzory wstawia się w znacznikach 'tex' - poczytaj tu
http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=3&t=198

[escher]

Jak się chwilkę poszuka, to okazuje się wszystkie te zadania już tu kiedyś były.

No tak muszę wprowadzić ten dobry zwyczaj zanim zacznę wpisywać rozwiązania

Ale sobie porozwiązywałem.
escher

[supergolonka]

Jak w wakacje robiłem porządki w działach, to kilka podwójnych zadań było. Było nawet jedno wpisane 3 razy. Ustalenie co już jest, a czego nie ma bywa trudne.