Kula wpisana stożek

[NieDlaOka37]

Tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa. Oblicz objętość kuli wpisanej w ten stożek, jeśli objętość stożka wynosi V.

Kto pomoże?

[irena]

Oznaczyłam: R - promień kuli, r - promień podstawy stożka, H - wysokość stożka

\(\frac{H}{r}=tg\alpha\\H=r\cdot\ tg\alpha\\V=\frac{1}{3}\pi\cdot\ r^2H\\\frac{1}{3}\pi\cdot\ r^3=V\\r^3=\frac{3V}{\pi\ tg\alpha}\\\frac{R}{r}=tg{\frac{\alpha}{2}}\\R=r\ tg\frac{\alpha}{2}\)

\(R^3=r^3\ tg^3\frac{\alpha}{2}\\V_k=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{3V}{\pi\ tg\alpha}\cdot\ tg^3\frac{\alpha}{2}\\V_k=\frac{4V\cdot\ tg^3\frac{\alpha}{2}}{tg\alpha}\)

[irena]

Nie napisałam, że jak narysujesz przekrój osiowy, to otrzymasz koło (koło wielkie kuli) wpisane w trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie równym \(\alpha\).

[emilka01]

skad jest \(\frac{R}{r} =\tg \frac{ \alpha }{2}\)

[anka]

http://www.geogebratube.org/student/m5943

Połącz sobie punkt \(B\) ze środkiem koła. Otrzymasz połowę kąta \(\alpha\)