W trójkącie ostrokątnym ABC dane są dł. boków IACI=6, IBCI=10. Pole trójkąta ABC jest równe 15 pierwiastków z 3. Oblicz:
a) długość AB
b) sinus kąta BAC
Zadanie z trójkątem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Oznaczyłam kąt ACB jako \(\alpha\), pole trójkąta - P, długość odcinka AB - x, kąt BAC - \(\beta\).
\(P=15\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot10\cdot\ sin\alpha\\30sin\alpha=15\sqrt{3}\\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\alpha=60^o\).
a)
Z twierdzenia cosinusów:
\(x^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10\cdot\ cos\alpha\\x^2=136-120\cdot\frac{1}{2}\\x^2=76\\x=2\sqrt{19}\).
Odcinek AB ma zatem długość \(2\sqrt{19}\).
b)
\(P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\cdot\sqrt{19}\cdot\ sin\beta=15\sqrt{3}\\6\sqrt{19}\cdot\ sin\beta=15\sqrt{3}\\sin\beta=\frac{15\sqrt{3}}{6\sqrt{19}}=\frac{5\sqrt{57}}{38}\).
Sinus kąta BAC jest równy \(\frac{5\sqrt{57}}{38}\).
\(P=15\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot10\cdot\ sin\alpha\\30sin\alpha=15\sqrt{3}\\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\alpha=60^o\).
a)
Z twierdzenia cosinusów:
\(x^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10\cdot\ cos\alpha\\x^2=136-120\cdot\frac{1}{2}\\x^2=76\\x=2\sqrt{19}\).
Odcinek AB ma zatem długość \(2\sqrt{19}\).
b)
\(P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\cdot\sqrt{19}\cdot\ sin\beta=15\sqrt{3}\\6\sqrt{19}\cdot\ sin\beta=15\sqrt{3}\\sin\beta=\frac{15\sqrt{3}}{6\sqrt{19}}=\frac{5\sqrt{57}}{38}\).
Sinus kąta BAC jest równy \(\frac{5\sqrt{57}}{38}\).