Granica

[Dexous]

Jak obliczyc taka granice ?
\(\lim_{x\to \infty } \sqrt{1+x^2}-x\)

oraz taka jak mozna dopisac
\(\lim_{x\to - \infty } \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{x}\) Z tego mi wychodzi 2 , ale tyle musi wyjsc chyba jak dazy z plusem ?

[patryk00714]

\(\lim_{x\to \infty} \frac{(\sqrt{1+x^2}-x)(\sqrt{1+x^2}+x)}{\sqrt{1+x^2}+x} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}=0\)

[Dexous]

Czy przypadkiem w Twoim rozwiazaniu w ostatnim przejsciu nie trzeba rozwazyc czy dazy z plusem czy minusem ? Jak bedzie z minusem to bedzie symbol nieoznaczony przeciez w mianowiku

[patryk00714]

przecież \(\frac{A}{+\infty}=0 \;\;\;\;\;\ \frac{A}{-\infty}=0\)

ponadto w zadaniu mamy narzuconą \(+\infty\)

[patryk00714]

wykresik tej funkcji:

[Dexous]

No tak ale przeciez jak wstawie z minusem to bedzie cos takiego \(\frac{1}{ \infty - \infty }\)

[patryk00714]

po co wstawiać minus skoro nam nie każą?

[Dexous]

bo to jest tylko kawalek zadania. Calosc to jest policzyc asymptoty funkcji \(x + \sqrt{1+x^2}\) i tam musze zbadac jak sie zachowuje w plus a jak w minus, ale poki co mi to nie wychodzi

[patryk00714]

no to będzie tak:

asymptot pionowych nie ma (bo funkcja jest określona na \(R\))

asymptota ukośna: \(y=ax+b\) mamy:

\(a= \lim_{x\to \infty} \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{x}=\lim_{x \to \infty} 1+\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=1+ \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=1+1=2\)

i \(b= \lim_{x\to \infty }x+\sqrt{1+x^2}-2x=0\) jak liczyłem wcześniej. stąd:

asymptotą ukośną wykresu \(f(x)=x+\sqrt{1+x^2}\) jest prosta \(y=2x\)

[Dexous]

Dzieki, w odpowiedziach mam jeszcze ze \(y = 0\) jest asymptota .
Moglbys podac nazwe programu w jakim robisz takie wykresy ?

[patryk00714]

GeoGebra http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

[Dexous]

to jak to jest z ta druga asymptota ? Na rysunku tez widac ze wykres nie prztnie \(y = 0\)

[octahedron]

\(\lim_{x\to-\infty}x+\sqrt{1+x^2}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\infty+\infty}=0\)

więc asymptotą jest \(y=0\)

[patryk00714]

Wybacz, pominąłem to przypadkowo dzieki OCTAHEDRON