Oblicz sin x i cos x jeśli

[blue_and_green]

a) sin 2x = \(\frac{12}{13}\) i \(x \in ( \pi ; \frac{3}{2} \pi )\)
b) sin x + cos x = \(\frac{3 \sqrt{5} }{5}\) i \(x \in (0; \frac{ \pi }{2})\)
c)cos (x + \(\frac{ \pi }{4}) = \frac{ \sqrt{5} }{5}\) i \(x \in ( \pi ; \frac{3}{2} \pi)\)

[matirafal]

a)
\(sin2x=2sinxcosx= \frac{12}{13}
sinxcosx= \frac{6}{13}
sin^2x+cos^2x=1
sinx= \frac{6}{13cosx}
\frac{36}{169cos^2x}+cos^2x=1
\frac{36}{169}+cos^4x=cos^2x
cos^2x=t
t^2-t+ \frac{36}{169}=0
\Delta =1- \frac{144}{169} = \frac{25}{169}
\sqrt{ \Delta }= \frac{5}{13}
t_1= \frac{1- \frac{5}{13} }{2}= \frac{4}{13}
t_2= \frac{1+ \frac{5}{13} }{2}= \frac{9}{13}
*)cosx= -\frac{2 \sqrt{13} }{13}
**)cosx=- \frac{3 \sqrt{13} }{13}
*) sinx= \frac{6}{13} \cdot -\frac{13}{2 \sqrt{13} } =- \frac{3 \sqrt{13} }{13}
**) sinx= \frac{6}{13} \cdot - \frac{13}{3 \sqrt{13} } =- \frac{2 \sqrt{13} }{13}\)

[josselyn]

a) sin 2x = \(\frac{12}{13}\) i
\(x \in ( \pi ; \frac{3}{2} \pi )
sinx,cosx<0
sin 2x =\frac{12}{13}
2sinxcosx=\frac{12}{13}
4sin^2xcos^2x= \frac{144}{169}
sin^2x(1-sin^2x)= \frac{36}{169}
-sin^4x+sin^2x- \frac{36}{169}=0/ \cdot 169
-169sin^4x+169sin^2x-36=0
\Delta =169^2-4 \cdot 169 \cdot 36=28561-24336=4225
\sqrt{ \Delta } =65
sin^2x_1= \frac{-65-169}{-2 \cdot 169} = \frac{234}{338}
sin^2x_2= \frac{65-169}{-2 \cdot 169}= \frac{104}{338}
sinx<0
sinx_1=- \sqrt{\frac{234}{338} }
cosx_1=- \sqrt{1- \frac{234}{338} } = -\sqrt{ \frac{104}{338} }
sinx_2=- \sqrt{ \frac{104}{338} }
cosx_2=- \sqrt{1- \frac{104}{338} } = -\sqrt{ \frac{234}{338} }\)

[matirafal]

b)
\((sinx+cosx)^2=( \frac{3 \sqrt{5} }{5})^2= \frac{9}{5}
sin^2x+2sinxcosx+cos^2x= \frac{9}{5}
1+2sinxcosx= \frac{9}{5}
2sinxcosx= \frac{4}{5}
sinxcosx= \frac{2}{5}
sinx= \frac{2}{5cosx}
sin^2x+cos^2x=1
\frac{4}{25cos^2x}+cos^2x=1
\frac{4}{25}+cos^4x=cos^2x
cos^2x=t
t^2-t+ \frac{4}{25}=0
\Delta =1- \frac{16}{25}= \frac{9}{25}
\sqrt{ \Delta } = \frac{3}{5}
t_1= \frac{1- \frac{3}{5} }{2}= \frac{1}{5}
t_2= \frac{1+ \frac{3}{5} }{2}= \frac{4}{5}
*) cosx= \frac{ \sqrt{5} }{5}
**) cosx= \frac{2 \sqrt{5} }{5}
*) sinx= \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{ \sqrt{5} }= \frac{2 \sqrt{5} }{5}
**) sinx= \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2 \sqrt{5} }= \frac{ \sqrt{5} }{5}\)

[bluesm]

@matirafal
My musimy rozważyć dwa przypadki ponieważ kąt może być ujemny tak ?

Gdybyśmy zakładali że mamy do czynienia tylko z kątem dodatnim, moglibyśmy z góry wiedzieć w której jest ćwiartce, sprawdzając ile to jest 2x (tzn która ćwiartka)

[radagast]

c)cos (x + \(\frac{ \pi }{4}) = \frac{ \sqrt{5} }{5}\) i \(x \in ( \pi ; \frac{3}{2} \pi)\)

\(cos (x + \frac{ \pi }{4}) = \frac{ \sqrt{5} }{5}\)
\(cos xcos { \frac{ \pi }{4} }-sin xsin { \frac{ \pi }{4} }= \frac{ \sqrt{5} }{5}\)
\(\frac{cos x }{ \sqrt{2} } - \frac{sin x}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{5} }{5}\)
\(cosx-sinx= \frac{ \sqrt{10} }{5}\)

i dalej jedziemy tak jak w b)