Ciągi, parametr

[mjabol]

Witam, czy mógłby mi ktoś rozwiązać i przy okazji wyjaśnić po kolei co robi? Z góry dziękuję
"Dla jakich wartości k pierwiastki równania x^4-(3k+2)x^2+k^2=0 tworzą ciąg arytmetyczny"

[Galen]

Warto zauważyć,że funkcja po lewej stronie równania jest parzysta,więc może mieć 3 miejsca zerowe:dwie
liczby przeciwne i liczbę zero,lub cztery miejsca zerowe symetryczne względem zera,czyli dwie pary liczb
przeciwnych.
W pierwszym przypadku równanie musi mieć postać: (x^2)*(x^2 - p^2) = 0 ,p oznacza pierwiastek równania.
Po wymnożeniu mam
(x^4) - (p^2)*(x^2) = 0 ,co oznacza,że wyraz wolny w podanym równaniu k^2=0
Wiem zatem,że dla k=0 równanie ma 3 pierwiastki.Równanie ma teraz postać:
x^4 - 2x^2 = 0 czyli (x^2)(x^2 - 2)=0 Stąd x=-pierw.2 lub x=0 lub x=pierw.2----ciąg arytmetyczny.

W drugim przypadku chcę mieć 4 miejsca zerowe dla funkcji stopnia czwartego,czyli po wprowadzeniu
zmiennej t=x^2 oczekuję dwóch rozwiązań dodatnich dla równania stopnia drugiego
t^2 - (3k+2)t + k^2 = 0
Muszą być spełnione warunki:delta>0 , t1 + t2 >0 i t1 * t2 >0(wzory Vietea)
Po rozwiązaniu tych warunków otrzymuję,że k € (-0,4 ;0)suma(0;+niesk.)
Przyjmuję,że dodatnie t1>t2,wtedy pierwiastki równania stopnia czwartego tworzące ciąg arytmetyczny to
-pierw.t1 , -pierw.t2 , pierw.t2 , pierw.t1.Różnica ma postać pierw.t1-pierw.t2=pierw.t2 + pierw.t2
pierw.t1 = 3*pierw.t2 Podnoszę obie strony do kwadratu i otrzymuję t1 = 9*t2
Stosując wzory Vietea w równaniu stopnia drugiego mam: t1+t2=3k+2 i t1*t2=k^2 do których podstawiam
w miejsce t1 wyrażenie 9t2.
10t2=3k+2 i 9(t2)^2=k^2----t2 = k/3 lub t2 = -k/3
Jeśli t2=k/3 to 10*(k/3)=3k+2 czyli k=6.
Jeśli t2 = -k/3 to 10*(-k/3) = 3k+2 , czyli k = -6/19
odp.k€{-6/19 , 0 , 6}