Zadanie z funkcji

[kazdypurple]

Przepraszam, ze w takie formie, ale nie poradzil bym sobie w LateXie


Z gory dzieki!

[matirafal]

Sprawdzamy czy jest różnowartościowe
a) \(\frac{2x+1}{x-1}\)
Niech \(x_1 \neq x_2\) musi zachodzić \(f(x_1) \neq f(x_2)\)
\(f(x_1)=\frac{2x_1+1}{x_1-1} \neq f(x_2)=\frac{2x_2+1}{x_2-1}\)
\(\frac{2x_1+1}{x_1-1} \neq \frac{2x_2+1}{x_2-1}\)
\((2x_1+1)(x_2-1) \neq (2x_2+1)(x_1-1)
2x_1x_2-2x_1+x_2-1 \neq 2x_2x_1-2x_2+x_1-1
x_2-2x_1 \neq x_1-2x_2
3x_2 \neq 3x_1
x_2 \neq x_1\)
Prawda

[kazdypurple]

Czyli to jest kompletne rozwiazanie do podpunktu A, czy czegos brakuje ?

[matirafal]

B) sprawdzam czy jest różnowartościowe

b) \(\frac{2x}{x^3+1}\)
Z faktu \(f(x_1)=f(x_2)\) musi zachodzić \(x_1=x_2\)
Ale np dla \(y=1\) mamy \(\frac{2x}{x^3+1}=1\) skąd \(x=1,x= -\frac{1+ \sqrt{5} }{2} , x= -\frac{1- \sqrt{5} }{2}\) więc warunek \(x_1=x_2\) nie zachodzi.

Czasami żeby pokazac czy funkcja jest różnowartościowa, wystarczy odszukać taki y, dla którego mamy 2 x. Jesli takie znalazłem, to znaczy, że nie jest różnowartościowa.
Kiedy zatem udowadniac, że jest albo pokazac że nie jest
Cóż musisz "widzieć" te funkcje przed oczyma (im więcej przykładów zrobisz tym będzie ci łatwiej) i albo udowadniasz, że jest albo że nie jest różnowartościowa.

[matirafal]

Jeszcze do pkt a) oraz b) trzeba określić czy jest "na".

[kazdypurple]

Aha, dziekuje za rozwiazanie pierwszego polecenia !

A potrafisz to okreslic ?

Bo ja nie bardzo to rozumiem.

[matirafal]

Teraz akurat idę usypiać dziecko.... może w tym czasie da radę ktoś inny.

[kazdypurple]

Aha, rozumiem ok dziekuje!

[kazdypurple]

Potrafi ktos okreslic czy jest "na" ? W podpunkcie A i B?

[Galen]

A)
Funkcja nie jest "na" ,bo nie osiąga wartości y=2.
Równanie \(\frac{2x+1}{x-1}=2\) nie ma rozwiązania.
Przeciwdziedzina to \(R \setminus \left\{ 2\right\}\)

Funkcja nie jest różnowartościowa.
Istnieją dwa różne argumenty \(x_1=-\frac{1}{2}\;\;\;i\;\;\;\;x_2=1\) ,dla których odpowiednie wartości
są równe.
\(f(-\frac{1}{2})=f(1)=0\)

[Galen]

B)
Funkcja jest "na"
Jej przeciwdziedzina to R.

Funkcja nie jest różnowartościowa,bo np. wartość 1 przyjmuje dla trzech różnych argumentów.
\(f(x)=1\\
\frac{2x}{x^3+1}=1\\
x^3-2x+1=0\\
(x-1)(x^2+x-1)=0\\
x_1=1\;\;\;\;\;\Delta=5\;\;\sqrt{\Delta}=\sqrt{5}\\
x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\
x_3=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
\(x_1 \neq x_2 \neq x_3\;\;\;\;\;i\;\;\;\;f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=1\)

[matirafal]

A)
Funkcja nie jest "na" ,bo nie osiąga wartości y=2.
Równanie \(\frac{2x+1}{x-1}=2\) nie ma rozwiązania.
Przeciwdziedzina to \(R \setminus \left\{ 2\right\}\)

Funkcja nie jest różnowartościowa.
Istnieją dwa różne argumenty \(x_1=-\frac{1}{2}\;\;\;i\;\;\;\;x_2=1\) ,dla których odpowiednie wartości
są równe.
\(f(-\frac{1}{2})=f(1)=0\)

Masz rację!!!
Faktycznie, przecież tam jest podane \(0 dla x=1\).
Nie wziąłem tego pod uwagę analizując różnowartościowość. Sprawdziłem tylko dla \(\frac{2x+1}{x-1}\)
Moje niedopatrzenie. Przepraszam za wprowadzenie w błąd

[irena]

Tak, prawdę mówiąc, post powinien wylądować w śmietniku- REGULAMIN!
Proponuję, żeby rozwiązujący napisał treść zadania w LATEXu...