W dany kat wpisano okrag .Punkty stycznosci dziela okrag na dwa luki,z ktorych jeden jest 4 razy dluzszy niz drugi.Oblicz miare konta w ktory wpisano okrag?
Dane sa dwa okegi wspolsrodkowe.W wiekszym okregu poprowadzono cieciwe dl 12cm styczna do mnijszego okregu.Oblicz pole pirscienia kolowegotzn. figury ograniczonej tymi okegami?
TRapez rownoramienny jest opisany na okegu.Oblicz dl ramion tego trapezu,wiedzac ,ze jego obw wynosi 40 cm.Z gory uprzejmie dziekuje
1.
Kąty środkowe, wyznaczone przez promienie poprowadzone do punktów styczności, są w takim samym stosunku, co łuki im odpowiadające. czyli jeden z nich stanowi 1/5 kąta pełnego równego 360stopni (72stopnie), a drugi 4/5 kąta pełnego (288stopni).
Nazwijmy wierzchołek kąta literą K, środek okręgu O, punkty styczności okręgu z ramionami kąta odpowiednio M i N. Otrzymamy czworokąt KNOM, w którym boki OM i ON są promieniami okręgu poprowadzonymi do punktów styczności, więc kąty KMO i KNO są kątami prostymi. Kąt NKM jest szukanym kątem, w który wpisano okrąg. Kąt NOM ma miarę 72stopnie - wyliczoną poprzednio. (Czworokąt, KNOM, opisany wcześniej nie może mieć kąta wklęsłego, ponieważ jego dwa kąty to kąty proste. Kąt NOM nie może być zatem kątem o mierze 288stopni).
Ponieważ suma kątów czworokąta wynosi 360stopni, więc kąt NKM ma miarę 180 - 72 = 108 stopni.
2.
Jeśli nazwiemy promień dużego okręgu literą R, a mniejszego r, to pole pierścienia jest równe
Jeśli narysujesz te dwa okręgi i opisaną w zadaniu styczną oraz poprowadzisz promień okręgu mniejszego do punktu styczności z cięciwą, a promień dużego okręgu do końca tej cięciwy, to otrzymasz trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to r i połowa cięciwy, a przeciwprostokątna to R.
Z twierdzenia Pitagorasa: r^2 + 6^2 = R^2, czyli R^2 - r^2 = 6^2.
Stąd R^2 - r^2 = 36
Pole pierścienia jest więc równe 36Pi.
3.
Korzystam tu z twierdzenia: "Jeśli czworokąt jest opisany na okręgu, to równe są sumy jego przeciwległych boków".
Jeżeli podstawy trapezu oznaczymy odpowiednio literami a i b, a ramiona mają długość x, to obwód tego trapezu wynosi a + b + 2x = 40cm. Ale, na podstawie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu, mamy 2x = a + b. Czyli 4x = 40 cm. Stąd x = 10cm. Zatem ramiona trapezu mają po 10cm.
