1. Nie korzystając z kalkulatora, wykaż że: \((\frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{2} })^2\)> \(\sqrt{2}\)
2. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność:
\((a+b)^2\)\(\ge 4ab\)
równanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Często tu bywam
- Posty: 196
- Rejestracja: 26 paź 2010, 19:12
- Podziękowania: 91 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
1)
\((\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
\(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\sqrt{2}-\sqrt{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{4}>0\)
Wynik z odejmowania prawej strony od lewej jest dodatni,czyli \(L>P\)
(2 pierwiastki z 2 to mniej niż 3)
2)
\((a^2+2ab+b^2\ge 4ab\\
a^2-2ab+b^2\ge 0\\
(a-b)^2\ge 0\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa,to pierwsza jako równoważna też jest prawdziwa.
\((\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
\(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\sqrt{2}-\sqrt{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{4}>0\)
Wynik z odejmowania prawej strony od lewej jest dodatni,czyli \(L>P\)
(2 pierwiastki z 2 to mniej niż 3)
2)
\((a^2+2ab+b^2\ge 4ab\\
a^2-2ab+b^2\ge 0\\
(a-b)^2\ge 0\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa,to pierwsza jako równoważna też jest prawdziwa.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
\(( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \sqrt{2} })^2- \sqrt{2} =( \frac{1+ \sqrt{2} }{2} )^2- \sqrt{2} = \frac{1+2 \sqrt{2} +2}{4}- \sqrt{2} = \frac{1+2 \sqrt{2}+2-4 \sqrt{2} }{4}= \frac{1-2 \sqrt{2}+2 }{4} = \frac{(1- \sqrt{2} )^2}{4}>0\\ ( \frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{2} })^2- \sqrt{2}>0\\ ( \frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{2} } )^2> \sqrt{2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c.n.d\)