równanie

[kasiag910714]

1. Nie korzystając z kalkulatora, wykaż że: \((\frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{2} })^2\)> \(\sqrt{2}\)

2. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność:

\((a+b)^2\)\(\ge 4ab\)

[Galen]

1)
\((\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
\(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\sqrt{2}-\sqrt{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{4}>0\)
Wynik z odejmowania prawej strony od lewej jest dodatni,czyli \(L>P\)
(2 pierwiastki z 2 to mniej niż 3)
2)
\((a^2+2ab+b^2\ge 4ab\\
a^2-2ab+b^2\ge 0\\
(a-b)^2\ge 0\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa,to pierwsza jako równoważna też jest prawdziwa.

[jola]

\(( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \sqrt{2} })^2- \sqrt{2} =( \frac{1+ \sqrt{2} }{2} )^2- \sqrt{2} = \frac{1+2 \sqrt{2} +2}{4}- \sqrt{2} = \frac{1+2 \sqrt{2}+2-4 \sqrt{2} }{4}= \frac{1-2 \sqrt{2}+2 }{4} = \frac{(1- \sqrt{2} )^2}{4}>0\\ ( \frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{2} })^2- \sqrt{2}>0\\ ( \frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{2} } )^2> \sqrt{2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c.n.d\)

[irena]

1.
\((\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{4}+2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3+2\sqrt{2}}{4}\)

\(1,5>\sqrt{2}\\3>2\sqrt{2}\\3+2\sqrt{2}>4\sqrt{2}\\\frac{3+2\sqrt{2}}{4}>\sqrt{2}\)