prawdopodobienstwo geometryczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
prawdopodobienstwo geometryczne
Z odcinka \(\left[0,1\right]\) wybieramy losowo liczby x i y. Oblicz prawdopodobienstwo, ze naleza one do dziedziny funkcji \(f \left( x,y\right) = \sqrt{x^2+y- 0,2}\)
\(x,\ y\in[0;\ 1]\\f(x,\ y)=\sqrt{x^2-y+0,2}\)
\(x^2-y+0,2\ge0\\y\le x^2+0,2\)
W układzie współrzędnych zaznacz kwadrat o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
Wybieramy te punktu z zaznaczonego kwadratu, które leżą pod parabolą o równaniu [yex]y=x^2+0,2[/tex].
Pole całego kwadratu wynosi 1.
\(x^2+0,2=1\\x^2=\frac{4}{5}\\x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
Interesuje nas obszar pod parabolą od \(x=0\) do \(x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\) oraz prostokąt dla \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\le x\le1\) oraz \(0\le y\le1\)
\(P_1=\int_0^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}\ (x^2+0,2)dx=\[\frac{1}{3}x^3+0,2x\]_0^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{8\cdot5\sqrt{5}}{125}+\frac{1}{5}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{14\sqrt{5}}{75}\)
\(P_2=1(1-\frac{2\sqrt{5}}{5})=\frac{5-2\sqrt{5}}{5}\)
\(P_1+P_2=\frac{14\sqrt{5}}{75}+\frac{5-2\sqrt{5}}{5}=\frac{14\sqrt{5}+75-30\sqrt{5}}{75}=\frac{75-16\sqrt{5}}{75}\)
\(P(A)=\frac{P_1+P_2}{1}=P_1+P_2\)
\(x^2-y+0,2\ge0\\y\le x^2+0,2\)
W układzie współrzędnych zaznacz kwadrat o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
Wybieramy te punktu z zaznaczonego kwadratu, które leżą pod parabolą o równaniu [yex]y=x^2+0,2[/tex].
Pole całego kwadratu wynosi 1.
\(x^2+0,2=1\\x^2=\frac{4}{5}\\x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
Interesuje nas obszar pod parabolą od \(x=0\) do \(x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\) oraz prostokąt dla \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\le x\le1\) oraz \(0\le y\le1\)
\(P_1=\int_0^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}\ (x^2+0,2)dx=\[\frac{1}{3}x^3+0,2x\]_0^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{8\cdot5\sqrt{5}}{125}+\frac{1}{5}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{14\sqrt{5}}{75}\)
\(P_2=1(1-\frac{2\sqrt{5}}{5})=\frac{5-2\sqrt{5}}{5}\)
\(P_1+P_2=\frac{14\sqrt{5}}{75}+\frac{5-2\sqrt{5}}{5}=\frac{14\sqrt{5}+75-30\sqrt{5}}{75}=\frac{75-16\sqrt{5}}{75}\)
\(P(A)=\frac{P_1+P_2}{1}=P_1+P_2\)