Granice ciągów

[julia13]

a)\(\lim_{x\to \infty }(1- \frac{sin \cdot n!}{n^2} )\)

b)\(\lim_{x\to \infty } \frac{a^n}{n!}\)

c)\(\lim_{x\to \infty } \frac{n^p}{2^n} , p \in N, dla p \in R, pi n \in W, p \in C\)

Bardzo prosiłabym o pomoc w rozwiązaniu tych granic. Wydaje mi sie, że rozumiem granice, ale te przyklady sa ponad moje siły...Z góry wielkie dzieki!

[octahedron]

\(a)\quad -\frac{1}{n^2}\le \frac{\sin n!}{n^2}\le\frac{1}{n^2}\)

więc z tw. o trzech ciągach \(\lim_{n\to\infty}1-\frac{\sin n!}{n^2}=1-0=1\)

[octahedron]

\(b)\quad \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a^n}{n!}\cdot\frac{a}{n+1}\)

dla \(n+1>a\) ciąg jest malejący, więc dla \(n>N=\lfloor a\rfloor\) mamy

\(0<\frac{a^n}{n!}<\frac{a^N}{N!}\cdot\(\frac{a}{N+1}\)^{n-N}\)

a ponieważ \(\lim_{n\to\infty}\frac{a^N}{N!}\cdot\(\frac{a}{N+1}\)^{n-N}=0\) z tw. o trzech ciągąch mamy \(\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0\)

[octahedron]

\(c)\quad \lim_{n\to\infty}\ln\(\frac{n^p}{2^n}\)=\lim_{n\to\infty}(p\ln n-n\ln 2)=-\infty
\lim_{n\to\infty}\frac{n^p}{2^n}=e^{-\infty}=0\)