Grupa

[Faner]

Jak sprawdzic czy nastepujace dzialania sa grupa
a) liczby zespolone o module rownym 1 ze wzgledu na mnozenie
b) liczby zespolone o module rownym 1 ze wzgledu na nastepujace dzialanie \(z_1 \circ z_2 = | z_1| z_2\)

[Crazy Driver]

Sprawdzasz po prostu aksjomaty grupy. Na czym konkretnie polega problem?

[Kanodelo]

b)

1. łączność
\((z_1\circ z_2)\circ z_3=(|z_1|z_2)\circ z_3=||z_1|z_2|z_3 =|z_2|z_3=z_3\\
z_1\circ (z_2 \circ z_3)z_1\circ(|z_2|z_3) =|z_1|(|z_2|z_3)=|z_2|z_3=z_3\)
jest łączne

2. element neutralny
\(z_1\circ e=e\circ z_1=z_1 \\
|z_1|e=z_1|e|=z_1 \\
e=z_1\)
(tzn dla dowolnej liczby zespolonej elementem neutralnym jest ona sama)

3. element odwrotny
\(z_1\circ b=b\circ z_1=e \\
|z_1|b=z_1|b|=z_1 \\
b=z_1=z_1\)
czyli również wychodzi, że dla każdej lizby zespolonej ona sama jest elementem odwrotnym

Czy ktoś mógłby to sprawdzić, bo nie jestem pewien tego co napisałem...

[Crazy Driver]

1. Nasze działanie można zapisać prościej: \(z_1\circ z_2=z_2\)

2. Ja bym zaczął od sprawdzenia, czy zbiór \(G=\left\{z\in\mathbb{C}:\ |z|=1\right\}\) jest zamknięty na tak określone mnożenie, co przy powyższej postaci jest oczywiste.

3. Nie bardzo rozumiem, co się stało w drugiej linijce sprawdzania łączności (pierwsza jest ok).
Nasze działanie zwraca po prostu drugi argument, a więc mamy
\(z_1\circ(z_2\circ z_3)=z_2\circ z_3=z_3=(z_1\circ z_2)\circ z_3\)

4. Problem polega na tym, że nasze działanie nie ma elementu neutralnego, bowiem gdyby istniał, musiałby być dobry dla każdego \(z\in G\).

\(z_1\circ e=e=e\circ z_1=z_1\quad\Rightarrow\quad e=z_1\)

\(z_2\circ z_1=z_1\neq z_2\).

Zatem nie ma elementu neutralnego, a więc \((G,\circ)\) nie jest grupą.

[Kanodelo]

W drugiej linijce poprostu zapomniałem o znaku równości, chodziło o to:
\(z_1\circ (z_2 \circ z_3)=z_1\circ(|z_2|z_3) =|z_1|(|z_2|z_3)=|z_2|z_3=z_3\)


A z tym elementem neutralnym to czemu później piszesz założenie, że \(z_1\circ z_2=z_2\)? Chodzi o to, że dla każdego \(z_1\) wynikiem tego działania musi być \(z_2\), a elelemnt neutralny to \(z_1\), który jest różny od \(z_2\)?

[Crazy Driver]

To nie jest założenie, to po prostu wynik działania. Tak, chodzi dokładnie o to, co napisałeś potem.

[Crazy Driver]

W sumie to się pomyliłem, ale już poprawiłem. Chodzi o to, że z równości definiującej element neutralny wynika, że jest nim \(z_1\), ale wynikiem działania \(z_2\circ z_1\) nie jest \(z_2\), stąd sprzeczność, bo ma to być element neutralny dobry dla każdego elementu grupy.

[Kanodelo]

Dzięki