Brak granicy - najszybszy sposób

[mmk]

Witam,

w jaki sposób najszybciej udowodnić formalnie że granica

\(\lim_{x\to 0-}sin \frac{1}/{x}\)

nie istnieje?

[radagast]

weźmy ciąg \(x_n= \frac{1}{2 \pi n}\)
\(\lim_{n\to \infty } x_n= \lim_{n\to \infty } \frac{1}{2 \pi n} =0\)
\(\lim_{n\to \infty }sin { \left( {\frac{1}{x_n} } \right)} =\lim_{n\to \infty }sin (2 \pi n) =0\)

a teraz weźmy ciąg \(y_n= \frac{1}{2 \pi n+ \frac{ \pi }{2} }\)
\(\lim_{n\to \infty } y_n= \lim_{n\to \infty } \frac{1}{2 \pi n+ \frac{ \pi }{2} } =0\)
\(\lim_{n\to \infty }sin { \left( {\frac{1}{y_n} } \right)} =\lim_{n\to \infty }sin (2 \pi n+ \frac{ \pi }{2} ) =1\)

\(1 \neq 0\) - granica nie istnieje

[octahedron]

Trzeba tylko wziąć te ciągi z minusem, bo mamy granicę lewostronną.