Liczby zespolone - równanie

[Iliasur]

Niby proste, ale nie mogę go rozgryźć...

\(z^3=2z \overline{z}\)

[KamilWit]

hm
\(z^3 = 2z \overline{z} | : z \\
z^2 = 2 \overline{z} \\
z \ \cdot \ z = \overline{z} + \overline{z} \\
( a + bi )^2 = a - bi + a - bi \\
a^2 - b^2 + 2abi = 2a - 2bi\\\)
czyli musi zachodzić :

\(a^2 - b^2 = 2a \ \wedge \ 2ab = -2b\)
\(a^2 - b^2 = 2a \ \wedge \ a = -1\)
\(1 - b^2 = -4 \ \wedge \ a = -1\)
\(b^2 = 5 \ \wedge \ a = -1\)
\(b = \sqrt{5} \ \vee b_2= - \sqrt{5} \ \wedge \ a = -1\)
\(z = -1 + \sqrt{5} \ \cdot \ i\) \(\ \vee z_2 = -1 - \sqrt{5} \ \cdot \ i \ \vee \ z_3 = 0\)
chyba tak , a jak nie to ktoś poprawi

[patryk00714]

błąd:

\(2ab=-2b \Rightarrow a=-1\)

[octahedron]

\(z=re^{i\varphi}
r^3e^{3i\varphi}=2r^2
re^{3i\varphi}=2
\{r=2\\3\varphi=2k\pi\.
z_1=2
z_2=2e^{i\frac{2\pi}{3}}=-1+i\sqrt{3}
z_3=2e^{i\frac{4\pi}{3}}=-1-i\sqrt{3}\)

[KamilWit]

czy dzielać przez \(z\)
straciłem jedno rozwiązanie hm ?
w ogóle powinienem zrobić jak Ty ?
w sensie moje się nie nadaję ?

poza tym, czy nie pozbyłem się
rozwiązania :
\(z = 0\) tylko ?
hm ?

[octahedron]

\(z=0\) też jest rozwiązaniem. Twoje rozwiązanie jest dobre, tylko masz błąd rachunkowy.

[KamilWit]

mógłbyś mi wyjaśnić
jak u mnie dobra odpowiedź to \(z_3 = 0\)
przykładowo
, a u Ciebie dobra to
\(z_1 = 2\)
hmm ??

[octahedron]

mógłbyś mi wyjaśnić jak u mnie dobra odpowiedź to \(z_3 = 0\)

Tutaj nie rozumiem, o co chodzi.

a u Ciebie dobra to \(z_1 = 2\)

\(k=0\Rightarrow 3\varphi=0 \Rightarrow \varphi=0\)