Zmienna losowa

[kolczan]

Dana jest gęstość zmiennej losowej.

\(F(x)= \begin{cases}\frac{A}{x^4}, \ x\in[1,2] \\0 \ x\notin [1,2] \end{cases}\)


a) wyznacz A
b) wyznacz dystrybuante
c) \(P( \frac{5}{4}<x< \frac{3}{2})\)

Popraw zapis

[Arni123]

a)
\(f(x)=\begin{cases} \frac{A}{x^4} \;\;\; dla x\in(1,2)\\0\;\;\; dla x\notin(1,2)\end{cases}\)
Z własności gęstości ciągłej zmiennej losowej mamy:
\(1= \int_{- \infty }^{+ \infty }f(x)dx= \int_{1}^{2} \frac{A}{x^4} dx=( \frac{-A}{3x^3} )^{2} _1= \frac{-A}{3 \cdot 2^3}- \frac{-A}{3 \cdot 1^3}= \frac{-A}{24} + \frac{A}{3} = \frac{7A}{24}\), czyli
\(1= \frac{7A}{24}\), a stąd \(A= \frac{24}{7}\)
b)
Jeżeli \(x \le 1\) to funkcja dystrybuanty ma postać:
\(F(x)= \int_{- \infty }^{x}0 dt=0\)
Niech \(x\in(1,2)\), wtedy
\(F(x)=P(X \le x)= \int_{-\infty}^{x}f(t)dt= \int_{1}^{x} \frac{24}{7} \cdot \frac{1}{t^4}dt = (\frac{24}{7}\cdot \frac{-1}{3t^3})^{x}_1=(-\frac{24}{21t^3})^{x} _1=-\frac{24}{21x^3}- \frac{-24}{21}=-\frac{24}{21x^3}+ \frac{24}{21}=
= \frac{8}{3} (1- \frac{1}{x^3} )\)
Natomiast jeżeli \(x \ge 2\) oraz \(x \to + \infty\) to korzystając z tego, że dystrybuanta jest funkcją niemalejącą i ograniczoną z góry przez 1 ( czyli \(\lim_{x\to + \infty } F(x)=1\)) mamy, że \(F(x)=1,\;\;x \ge 2\)
Ostatecznie mamy:
\(F(x)= \begin{cases} 0\;\;dla x \le 0\\ \frac{8}{3} (1- \frac{1}{x^3} ) \;\;dla x\in(1,2)\\ 1\;\; dla x \ge 2 \end{cases}\)
c)
\(P( \frac{5}{4} <x< \frac{3}{2} )= \int_{ \frac{5}{4} }^{ \frac{3}{2} }f(t)dt=\int_{ \frac{5}{4} }^{ \frac{3}{2} } \frac{24}{7} \cdot \frac{1}{t^4}dt=\frac{24}{7}\int_{ \frac{5}{4} }^{ \frac{3}{2} } \cdot \frac{1}{t^4}dt=\frac{24}{7}( \frac{-1}{3x^3} )^{ \frac{3}{2}}_{\frac{5}{4}}=\frac{-24}{21}( \frac{1}{x^3} )^{ \frac{3}{2}}_{\frac{5}{4}}=\frac{-8}{3}( \frac{1}{ ( \frac{3}{2} )^3} - \frac{1}{( \frac{5}{4} )^3} )
=\frac{-8}{3}( \frac{8}{27} - \frac{64}{125} )=\frac{-8}{3}( \frac{8\cdot 125-27\cdot 64}{27\cdot 125})= \frac{5824}{10125}\approx 0,57521\)