Ciąg ograniczony

[Dexous]

Jak sprawdzic czy taki ciag jest ograniczony ?
\(a_n = \frac{n}{2^n}\)

[KamilWit]

Każdy zbieżny ciąg liczbowy jest ograniczony.
zatem pozostaje sprawdzić zbieżność.

[Dexous]

czyli policzyc granice?

[irena]

Można pokazać, że dla każdego \(n\in N\) jest \(n<2^n\). Czyli taki ciąg jest ograniczony- z dołu przez 0, z góry przez 1.

\(n=1\\1<2^1=2\)

\(Z.\\n<2^n\\T.\\n+1<2^{n+1}\\D.\\n+1<2^n+1<2^n+2^n=2\cdot2^n=2^{n+1}\)

[Dexous]

nie bardzo rozumie. Czemu porownujemy \(n < 2^n\)

[irena]

Bo jeśli dla każdej liczby \(n\in N\) jest \(n<2^n\), to wartość każdego ułamka postaci \(\frac{n}{2^n}\) jest mniejsza od 1.

[Dexous]

a czy dozwolony jest takze sposob gdy wyznacze ze jest to ciag malejacy , wiec najwiekszy element to jest pierwszy element ciagu i sprawdzic jaka on ma wartosc ?

[KamilWit]

a nie prościej policzyć granicę od razu ?
i stwierdzić czy jest ciąg zbieżny, czy rozbieżny ?

[Dexous]

no da sie tylko te zadanie jest z dzialu a ciagach a granice beda dopiero pozniej, wiec poki co proboje je rozwiazac bez uzycia granic

[KamilWit]

hm w dziale" granice nieskończone " w książce " analiza matematyczna - Krysicki " są liczone granice, także ...

sprawdź :
\(\ \frac {u_{n+1}}{u_n }\ \le q + \ \alpha \ \\\)
dla
\(n \ge N\)
i weź tak małe \(\ \alpha \\) żeby \(q + \ \alpha \ < 1\)
wtedy :
\(\ \frac {u_{n+1}}{ u_n}\ < 1\)
dla wyrazów dodatnich
\(\frac {u_{n+1}}{ u_n}\ = \ \frac {n+1}{ 2n}\ = \ \frac {n}{ n}\ ( \ \frac {1+ \ \frac {1}{n }\ }{ 2}\ ) = \ \frac {1}{ 2}\\)
przy granicy wyżej.
a \(\ \frac {1}{2 }\ < 1\)
zatem jest zbieżny.

[Galen]

Ciąg jest ograniczony z góry przez 0,5 ,a z dołu przez 0.
Można to stwierdzić po obserwacji kilku kolejnych jego wyrazów.
\(0,5;0,5;\frac{3}{8};\frac{1}{4};\frac{5}{32}...\)
Ciąg jest malejący i zbieżny do 0.