Funkcja wymierna 2.

[wsl1993_]

Rozłożyć na ułamki proste funkcje wymierne:
\(a)
f(z)=\frac{z^3+2z^2-z+2}{z^4-1}\) o współczynnikach rzeczywistych i zespolonych.
\(b)
f(z)=\frac{4z}{z^4-4}\) o współczynnikach rzeczywistych.
\(c)
f(z)=\frac{z-1-5j}{z^2-2z+2}\) o współczynnikach zespolonych.

[octahedron]

Cały problem w rozkładzie mianownika:
\(z^4-1=(z^2+1)(z^2-1)=(z+i)(z-i)(z+1)(z-1)
z^4-4=(z+\sqrt{2}i)(z-\sqrt{2}i)(z+\sqrt{2})(z-\sqrt{2})
z^2-2z+2=(z-1-i)(z-1+i)\)

[wsl1993_]

ale w jaki sposób rozłożyć cały ułamek na ułamki proste?

[irena]

a)
\(\frac{4z}{z^4-1}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+1}+\frac{C}{z+i}+\frac{D}{z-i}=\frac{A(z+1)(z^2+1)+B(z-1)(z^2+1)+C(z^2-1)(z-i)+D(z^2-1)(z+i)}{z^4-1}=\\=\frac{A(z^3+z^2+z+1)+B(z^3-z^2+z-1)+C(z^3-z^2i-z+i)+D(z^3+z^2i-z-i)}{z^4-1}=\\=\frac{(A+B+C+D)z^3+(A-B-Ci+Di)z^2+(A+B-C-D)z+(A-B-Ci-Di)}{z^4-1}\)

\(\{A+B+C+D=0\\A-B-Ci+Di=0\\A+B-C-D=4\\A-B-Ci-Di=0\)

\(\{A=1\\B=1\\C=-1\\D=-1\)


\(\frac{4z}{z^4-1}=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\)