Indukcja zadania

[anilahcim]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań:

1. Sadzamy 2n dzieci do n wagoników po dwoje. Na ile sposobów można to zrobić?

2. Udowodnić indukcyjnie, że suma kątów wewnętrznych dowolnego n-kąta wynosi (n-2)pi.

3. Udowodnić, że aby połamać czekoladą o wymiarach p na r aby były same kawałki 1 na 1 potrzeba p*r-1 złamań oraz że ta liczba nie zależy od sposobu łamania.

[radagast]

1. Sadzamy 2n dzieci do n wagoników po dwoje. Na ile sposobów można to zrobić?

\(\frac{ \left( 2n\right) !}{2}\)
sporządzamy bileciki 1a,1b,2a,2b,3a,3b,...na,nb i obdzielamy nimi dzieci . Oczywiście na \(\left(2n \right)!\) sposobów. Każdy układ ma swojego "brata bliźniaka" (dzieci siedzą w tych samych wagonikach tylko w odwrotnej kolejności) dlatego liczbę uzyskanych sposobów należy podzielić przez dwa.

[radagast]

2. Udowodnić indukcyjnie, że suma kątów wewnętrznych dowolnego n-kąta wynosi (n-2)pi.

\(1^ \circ\) dla trójkąta ok (\((3-2) \pi = \pi =180^ \circ\))
\(2^ \circ\)zał. ind.: istnieje takie n , że suma kątów n-kąta wynosi \((n-2) \pi\)
pokażemy, że suma kątów n+1-kąta wynosi \((n-1) \pi\)
Od n+1- kąta odetnijmy jeden trójkąt, czyli 180 stopni. powstał n-kąt, o którym , na mocy zał. ind wiemy , że suma jego kątów to \((n-2) \pi\), co razem z odciętym trójkątem daje \((n-2) \pi+ \pi =(n-1) \pi\)
CBDO

[radagast]

3. Udowodnić, że aby połamać czekoladą o wymiarach p na r aby były same kawałki 1 na 1 potrzeba p*r-1 złamań oraz że ta liczba nie zależy od sposobu łamania.

Ustalmy p i analizujmy r:
\(1^ \circ\) jeżeli r=1 (czekolada ma 1 pasek szerokości p) . Łamiemy go p-1 łamaniami czyli p*1-1 ok
\(2^ \circ\) zał. ind.: istnieje takie r, że czekoladę o wymiarach p na r łamiemy p*r-1 łamaniami
pokażemy że czekoladę o wymiarach p na r+1 łamiemy p*(r+1)-1 łamaniami.

Odłamujemy dołożony pasek długości p i łamiemy go p-1 łamaniami.
Razem dołożyliśmy p-1 +1=p łamań.
Resztę, na mocy założenia indukcyjnego łamiemy p*r-1 łamaniami no to razem p*r-1+p=p*(r+1)-1 łamań
CBDO