Udowodnij ze \(3 | 10^n+4^n-2\)
Pierwszy krok jest spelniony ale mam problem z drugim.
\(10^{n+1}+4^{n+1}-2 = 10 * 10^n + 4 * 4^n - 2\)
Jak z tym dalej sobie poradzic?
Indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4449 razy
- Płeć:
Re: Indukcja
Bardzo prosto:
Założyliśmy w drugim kroku prawdziwość twierdzenia dla n. Teraz sprawdzamy, czy zachodzi dla n+1
\(10^{n+1}+4^{n+1}-2=10 \cdot 10^n+4\cdot 4^n-2=(10^n+4^n-2)+9\cdot 10^n+3 \cdot 4^n=(10^n+4^n-2)+3(3 \cdot 10^n+4^n)\)
liczba w nawiasie jest podzielna przez 3 założenia. Druga także z oczywistych już względów. Zatem nam mocy indukcji matematycznej liczba \(10^n+4^n-2\) jest podzielna przez 3.
Założyliśmy w drugim kroku prawdziwość twierdzenia dla n. Teraz sprawdzamy, czy zachodzi dla n+1
\(10^{n+1}+4^{n+1}-2=10 \cdot 10^n+4\cdot 4^n-2=(10^n+4^n-2)+9\cdot 10^n+3 \cdot 4^n=(10^n+4^n-2)+3(3 \cdot 10^n+4^n)\)
liczba w nawiasie jest podzielna przez 3 założenia. Druga także z oczywistych już względów. Zatem nam mocy indukcji matematycznej liczba \(10^n+4^n-2\) jest podzielna przez 3.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- KamilWit
- Moderator
- Posty: 1484
- Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
- Podziękowania: 370 razy
- Otrzymane podziękowania: 266 razy
- Płeć:
liczba jest podzielna przez 3 , gdy suma cyfr jest podzielna przez 3.
z \(10\)
zawsze będzie to + 1 do sumy, a więc pozostało udwodnić, że
\(4 \ \cdot \ 4^n - 2\)
jest podzielne przez dwa.
co jest dosyć oczywiste.
bo mamy podzielność przez 4
\(4 = 2 \ \cdot \ 2\)
czyli jesli odejmiemy 2
zostaje na pewno przynajmniej podzielność przez \(2\)
z \(10\)
zawsze będzie to + 1 do sumy, a więc pozostało udwodnić, że
\(4 \ \cdot \ 4^n - 2\)
jest podzielne przez dwa.
co jest dosyć oczywiste.
bo mamy podzielność przez 4
\(4 = 2 \ \cdot \ 2\)
czyli jesli odejmiemy 2
zostaje na pewno przynajmniej podzielność przez \(2\)