Szeregi

[Anitka1912]

Obliczyć:

\(\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{n+3}{3^n}\)

[patryk00714]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (n+3)x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }nx^n+3 \sum_{n=1}^{ \infty }x^n= \frac{x}{(1-x)^2}+3 \frac{x}{1-x}= \frac{x}{(1-x)^2}+ \frac{3x(1-x)}{(1-x)^2}= \frac{-3x^2+4x}{(1-x)^2}\)

Podstaw \(x=\frac{1}{3}\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+3}{3^n}= \frac{- \frac{1}{3}+ \frac{4}{3} }{ \frac{4}{9} }= \frac{9}{4}\)

Potrzebujesz wyjaśnień odnośnie trzeciego przejścia?

[Anitka1912]

dziękuje:)

[patryk00714]

jasne wszystko??

[Anitka1912]

prosiłabym o objaśnienie:)

[patryk00714]

Wiemy, że \(\sum_{n=0}^{ \infty }x^n= \frac{1}{1-x} \;\;\;\;\;\ |x|<1\)

zatem \(\sum_{n=1}^{ \infty }x^n =\sum_{n=0}^{ \infty }x^n-x^0= \frac{1}{1-x}-1= \frac{1}{1-x}- \frac{(1-x)}{(1-x)}= \frac{x}{1-x}\)

[patryk00714]

\(\sum_{n=0}^{ \infty }x^n = \frac{1}{1-x} \;\;\;\;\ |x|<1\)

różniczkując stronami mamy: \(\sum_{n=1}^{ \infty }nx^{n-1}= \frac{1}{(1-x)^2}\)

mnożąc obustronnie przez x mamy: \(\sum_{n=1}^{ \infty }nx^{n}= \frac{x}{(1-x)^2}\)

[eresh]

\(\sum_{n=0}\frac{n+3}{3^n}=\sum_{n=0}\frac{n}{3^n}+\sum_{n=0}\frac{3}{3^n}=\sum_{n=0}\frac{n}{3^n}+3\cdot\frac{3}{2}=\sum_{n=0}\frac{n}{3^n}+\frac{9}{2}\; (*)\)

\(\sum_{n=0}\frac{n}{3^n}=\sum_{n=0}\frac{n-1+1}{3^n}=\sum_{n=0}\frac{n-1}{3^n}+\sum_{n=0}\frac{1}{3^n}=-1+\sum_{n=1}\frac{n-1}{3^n}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\sum_{n=1}\frac{n-1}{3^{n-1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\sum_{n=0}\frac{n}{3^{n}}\\
\sum_{n=0}\frac{n}{3^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\sum_{n=0}\frac{n}{3^{n}}\\
\frac{2}{3}\sum_{n=0}\frac{n}{3^n}=\frac{1}{2}\\
\sum_{n=0}\frac{n}{3^n}=\frac{3}{4}\)

i wracamy do (*)

\(\sum_{n=0}\frac{n+3}{3^n}=\sum_{n=0}\frac{n}{3^n}+\frac{9}{2}\\
\sum_{n=0}\frac{n+3}{3^n}=\frac{3}{4}+\frac{9}{2}=\frac{21}{4}\)

[radagast]

Wynik eresha i patryka jest oczywiście taki sam. Tylko eresh liczy od n=0 , a patryk od n=1

[eresh]

bo ja od początku byłam pewna że tam jest \(n=0\)