kilka zadanek z ciągów

[malaguti_f12]

Witajcie; potrzebuję rozwiązać następujące zadania ale nie wiem jak się za nie zabrać do końca bo nie jestem matematyczną głową , bardziej humanistyczną z góry dziękuję za pomoc
zad. 1
okresl monotonicznosc ciagu o wyrazie ogolnym.
a) an=2n-1
n
b) bn=3n-1
2n+3
zad.2
wyznacz ciag artmetyczny i oblicz sume dwudziesto poczatkowych wyrazu ciagu.
a5=19 , a9=35

zad.3
rozwiaz rownianie ciagu aremetyczne
1+4+7+.......+(1+3n)=175

zad.4
miedzy liczby 2,18 wstaw trzy liczby tak,aby w utworzonym w ten sposob,
ciagu liczb trzy pierwsze tworzyl ciag aremetyczny, a trzy ostatnie ciagu
giemotryczny i aby suma wszystkich wyrazow, rowna 45.
2+x+y+z+18=45

[irena]

Zad. 1.
a) \(a_n = 2n - 1\\
a_{n+1} = 2(n + 1) - 1 = 2n + 1\\
a_{n+1} - a_n = 2n + 1 - 2n + 1 = 2 > 0\)
więc ciąg jest ciągiem rosnącym.

\(a_n = n\\
a_{n+1} = n +1\\
a_{n+1} - a_n = n + 1 - n = 1 > 0\)
więc ciąg jest rosnący.

b)
\(b_n = 3n - 1\\
b_{n+1} = 3(n + 1) - 1 = 3n + 2\\
b_{n+1} - b_n = 3n + 2 - 3n + 1 = 3 > 0\)
więc ciąg rosnący

\(b_n = 2n + 3\\
b_{n+1} = 2(n + 1) + 3 = 2n + 6\\
b_{n+1} - b_n = 2n + 6 - 2n - 3 = 3 > 0\)
więc ciąg jest rosnący

Zad. 2.
\(a_5 = 19,\ \ \ a_9 = 35\)
Jeśli r- różnica ciągu, to
\(a_9 - a_5 = 4r\\
4r = 35 - 19\\
4r = 16\\
r = 4\)

\(a_1 = a-5 - 4r\\
a_1 = 19 - 16\\
a_1 = 3\)

\(a_{20} = a1 + 19r\\
a_{20} = 3 + 19\cdot4\\
a_{20} = 79\)

\(S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot20\\
S_{20} = \frac{3 + 79}{2} \cdot20\\
S_{20} = 820\)


Zad. 4.

2, x, y, z, 18
2, x, y- ciąg arytmetyczny
y, z, 18- ciąg geometryczny
2+x+y+z+18=45

\(2x = 2 + y \\ x = 1 + \frac{1}{2} y\\

z^2 = 18y\\

y = \frac{1}{18} z^2\\

x = 1 + \frac{1}{36} z^2\\

x + y + z =25\\
1 + \frac{1}{36} z^2 + \frac{1}{18} z^2 + z = 25 \\
\frac{1}{12} z^2 + z + 1= 25 \ /\cdot12\\
z^2 + 12z - 24 = 0\\
\Delta = 1296\\ \sqrt{\Delta} = 36\\

z_1 = -24,\ \ x_1 = 17,\ \ y_1 = 32\)


\(z_2 = 12,\ \ x_2 = 5,\ \ y_2 = 8\)


zad. 3.
Niestety, ale coś "nie wychodzi". Czyżby błąd w treści zadania?