Podprzestrzeń liniowa

[forgottenhopes]

1.Sprawdź czy zbiór \(U\) stanowi podprzestrzeń liniową przestrzeni \(V=R_{ [x]_{3}\)
\(U=\left\{ w \in R_{ [x]_{3} }:w(0)=w'''(0) \wedge 2(w'(x)-w'(0))\equiv xw''(x) \right\}\).
Jeżeli tak znajdź bazę i wymiar podprzestrzeni \(U\)
2. Znajdź odwzorowanie liniowe \(f: R_ {[x]_{3}} \rightarrow R_ {[x]_{2}\) takie że \(f(x^3)=6x^2-12\), \(f(x^2)=x+1\) oraz \(Ker f =U\).
Proszę o pomoc z tym zadaniem.

W 1 wyznaczyłam bazę \(B=\{x^3+6,x\}\) oraz \(dimU=2\). Czy to są dobre wyniki?
Natomiast nie mam pomysłu na drugą część zadania.

[octahedron]

1. Dobrze
2.
\(f(x^3)=6x^2-12
f(x^2)=x+1
f(x)=0
f(1)=\frac{1}{6}f(6)=\frac{1}{6}f(x^3+6-x^3)=\frac{1}{6}f(x^3+6)-\frac{1}{6}f(x^3)=\frac{1}{6}\cdot 0-\frac{1}{6}(6x^2-12)=-x^2+2
f(a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0)=a_3f(x^3)+a_2f(x^2)+a_1f(x)+a_0f(1)=
=a_3(6x^2-12)+a_2(x+1)+a_0(-x^2+2)=
=(6a_3-a_0)x^2+a_2x-12a_3+a_2+2a_0\)

[forgottenhopes]

Dziękuję bardzo za pomoc