ciało i jego ideały
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
2entartain
- Rozkręcam się
- Posty: 60
- Rejestracja: 21 sie 2012, 20:24
- Podziękowania: 35 razy
ciało i jego ideały
Udowodnij, że jeśli F jest ciałem to jego jedynymi ideałami są ideał trywialny \(I=(0)\) oraz cały pierścień przemienny \(I=F\)
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
Dowod. Zalozmy, ze \(I\) jest idealem ciala F oraz niech ideal \(I\) bedzie idealem nietrywialnym \(I \neq (0)\) .
Niech \(a\in F\) oraz niech \(a \neq 0\). Wtedy \(a^{-1}\in F\) zgodnie z definicja ciala. Oznaczmy \(e\) jako element odwracalny ciala F wtedy \(e=a\cdot a^{-1}\in I\) na mocy definicji idealu. Wybierzmy dowolny element \(r\in F\) podobnie \(r=e\cdot r\inI\) na mocy tego samego argumentu. Zatem \(I=F\).
Mamy zatem dwa idealy: trywialny \(I=0\) oraz F
Niech \(a\in F\) oraz niech \(a \neq 0\). Wtedy \(a^{-1}\in F\) zgodnie z definicja ciala. Oznaczmy \(e\) jako element odwracalny ciala F wtedy \(e=a\cdot a^{-1}\in I\) na mocy definicji idealu. Wybierzmy dowolny element \(r\in F\) podobnie \(r=e\cdot r\inI\) na mocy tego samego argumentu. Zatem \(I=F\).
Mamy zatem dwa idealy: trywialny \(I=0\) oraz F
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)