macierz odwzorowania liniowego, kerf, imf

[malgosiem]

Zadanie:
Dana jest macierz \(A= \begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\) w bazie \(B=(u_1,u_2,u_3).\) Znaleźć \(ker f\), \(im f\) i ich bazy.
_______
Przy znajdowaniu kerf f to mnoży się macierz razy \(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\) i to ma dać macierz zerowa, i z tego robi sie układ równań i wyliczam, prawda? Wiem dlaczego tak jest, ale wychodzi mi ze w jądrze jest tylko wektor zerowy? Czy może tak wyjść, czy coś cały czas źle wyliczam?

Natomiast nie wiem jak wyznaczyć im f. Szukałam w googlach i znalazłam, że do im f należą dowolne kombinacje wektorów tworzonych przez kolumny tej macierzy. Mógłby mi ktoś wyjaśnić na czym to polega i jak to ładnie uzasadnić przy rozwiązywaniu zadania? Wiem, że kolumny macierzy odwzorowania liniowego tworzą współrzędne wektorów \(f(u_1),f(u_2),f(u_3)\) w bazie \(B=(u_1,u_2,u_3)\) i to pewnie z tego jakoś wynika, ale nie wiem jak dokładnie. I czy wtedy rozwiązaniem będzie: \(imf=lin\left\{(2,-1,0),(1,1,-3),(2,1,4)\right\}\), \(B_{imf}=((2,-1,0),(1,1,-3),(2,1,4))\), \(dim imf=3\)?

Byłabym wdzięczna za wyjaśnienia

[octahedron]

Może wyjść tylko wektor zerowy w jądrze. A co do obrazu:

\(\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}x_1+\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}x_3\)=
=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}x_1+\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}x_3=
=\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}x_1+\begin{bmatrix}1\\1\\3\end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix}2\\3\\1\end{bmatrix}x_3\)

a ponieważ te trzy wektory są liniowo niezależne, stanowią bazę obrazu.