macierz odwzorowania liniowego

[malgosiem]

Dana jest macierz \(A=\begin{bmatrix}3&-1\\2&-2\end{bmatrix}\)odwzorowania liniowego \(f: R^2\to R^2\) w bazie \(B=(v_1,v_2)\).
Znaleźć:
a) \(f^4(v_1+5v_2)\)
b)\(f^{-1}(3v_1-4v_2)\).

Proszę o wskazówki jak robić to zadanie

[malgosiem]

a) czy skorzystać z tego, że \(f^4=f \circ f \circ f \circ f\), więc \(M_{f^4}(B)= M_f(B)\cdot M_f(B) \cdot M_f(B) \cdot M_f(B)\) więc macierz A podnieść do czwartej i później zastosować do wzoru, że \(f(v)=u \Leftrightarrow A^4 \cdot V=U\)? gdzie U to jest kolumnowa macierz złożona ze wspólrzędnych wektora u w bazie B, i V- współrzędnych wektora v w bazie B. Tak?
\(v=[1,5]_B\)
\(A^4 \cdot V=\begin{bmatrix}46&-11\\18&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-9\\28\end{bmatrix}\)
\(u=[-9,28]_B=-9v_1+28v_2=f^4(v_1+5v_2)\)
Czy to jest poprawne rozwiązanie zadania i poprawny tok myślenia? Czy wystarczy podnieść macierz do czwartej, a z tymi współrzędnymi w bazie już nic nie kombinować, tylko zrobić tak jak wyżej?
Czyli tak jakby przyjąc sobie ze mamy jakieś odwzorowanie \(g=f^4\), a macierz tego odwzorowania g to jest ta A do czwartej i robić tak normalnie, jakby szukać obrazu wektora \(v_1+5v_2\) w tym odwzorowaniu g?
b) a tu przyjąc sobie za \(f^{-1}=g\) i za macierz odwzorowania g -odwrotna macierz odwzorowania f i też normalnie szukać obrazu wektora w odwzorowaniu g?

[octahedron]

Dobrze kombinujesz .