Oblicz pole kwadratu przedstawionego na rysunku, mając dany promień r okręgu „wpisano – opisanego” na tym kwadracie.
Zadanie i rysunek na stronie http://www.ko.rzeszow.pl/konkursy/gim/z ... m_2012.pdf
Dziwne i niespotykane zadanie.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 3
- Rejestracja: 15 sie 2012, 20:41
- Podziękowania: 3 razy
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Dziwne i niespotykane zadanie.
Oznaczmy bok kwadratu jako \(a\)
z tego wynika, że czewrowne odcinki maja długość \(a-r\)
mamy tam kwadrat o bokach \(a-r\) i przekątnej \(r\)
zatem: \((a-r)\sqrt{2}=r \Rightarrow a= \frac{r(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}= \frac{r(2+\sqrt{2})}{2}\)
Mamy ten duży kwadrat podzielony na jeden mniejszy i dwa trapezy prostokątne:
Pole trapezu: \(P_t=\frac{1}{2}(a+r)(a-r)= \frac{1}{2}(a^2-r^2)= \frac{1}{2}[(\frac{r(2+\sqrt{2})}{2})^2-r^2)]\)
Pole mniejszego kwadratu: \(P_{k_m}=r^2\)
Mamy więc: \(P_k=r^2+2P_t=r^2+ \frac{r^2(4+4\sqrt{2}+2)}{4}-r^2= \frac{(6+4\sqrt{2})r^2}{4}= \frac{r^2}{4}(6+4\sqrt{2})\)
z tego wynika, że czewrowne odcinki maja długość \(a-r\)
mamy tam kwadrat o bokach \(a-r\) i przekątnej \(r\)
zatem: \((a-r)\sqrt{2}=r \Rightarrow a= \frac{r(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}= \frac{r(2+\sqrt{2})}{2}\)
Mamy ten duży kwadrat podzielony na jeden mniejszy i dwa trapezy prostokątne:
Pole trapezu: \(P_t=\frac{1}{2}(a+r)(a-r)= \frac{1}{2}(a^2-r^2)= \frac{1}{2}[(\frac{r(2+\sqrt{2})}{2})^2-r^2)]\)
Pole mniejszego kwadratu: \(P_{k_m}=r^2\)
Mamy więc: \(P_k=r^2+2P_t=r^2+ \frac{r^2(4+4\sqrt{2}+2)}{4}-r^2= \frac{(6+4\sqrt{2})r^2}{4}= \frac{r^2}{4}(6+4\sqrt{2})\)
- Załączniki
-
- Bez tytułu.png (13.9 KiB) Przejrzano 1329 razy
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Dziwne i niespotykane zadanie.
Hmmm.. skoro wysznaczyłeś a (bok kwadratu), to dlaczego po prostu nie podniosłeś to a do kwadratu, żeby obliczyć pole tego kwadratu?
Tak na szybko wyłazi.
\(P = (r(1+\frac{\sqrt{2}}{2} ))^2 = r^2 \left( \frac{3}{2} + \sqrt{2} \right)\)
Tak na szybko wyłazi.
\(P = (r(1+\frac{\sqrt{2}}{2} ))^2 = r^2 \left( \frac{3}{2} + \sqrt{2} \right)\)
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria