znaleźć wszystkie rozwiązania kongruencji

[xan]

jak w temacie:
\(x^2\equiv -1 \pmod{4225}\)
no i nie wiem jak się za to zabrać

[KamilWit]

jak w temacie:
\(x^2\equiv -1 \pmod{4225}\)
no i nie wiem jak się za to zabrać

\(x^2 +1\equiv 0 \pmod{4225}\)

zatem
\(x^2 + 1 = k * 4225 , k \in C\)

chyba tak można zacząć .

np.
dla \(k = 0\)
mamy :
\(x^2 \neq- 1\)
i sprzeczność.

pozostalo rozważyć \(k <0\) i \(k > 0\)
dla \(k < 0\)
\(k * 4225 = h\)
\(x^2 + 1 = h\)
\(x^2 \neq h - 1\)
bo z prawej strony mamy coś ujemnego.
dla \(k> 0\)
mamy zawsze prawidłowość, ponieważ już od \(k = 1\) prawa strona jest dodatnia.
rozwiązania są zatem typu :
\(x^2 + 1 = k * 4225 , \ k > 0\)

[patryk00714]

definicja kongruencji: \(a \equiv b \pmod{m} \Leftrightarrow m|a-b\)

czyli tutaj: \(x^2 \equiv -1 \pmod {4225} \Leftrightarrow 4225|x^2+1\)

a to zachodzi, gdy: \(4225k=x^2+1\;\;\;\;\;\;\;\;\ k \in Z\)

czyli szukamy takich \(x\), aby wyrażenie \(k=\frac{x^2+1}{4225} \in Z\)

Dasz radę sam?

[xan]

chłopaki ale chyba nie o to chodzi do końca.. no bo w odpowiedziach są cztery liczby, więc odpowiedź w stylu:
takie \(x\) żeby zachodziło \(4225 | x^2+1\) (bo coś takiego proponujecie, a to po prostu inny zapis tego równania) nie jest satysfakcjonująca..

[patryk00714]

Pisałeś, że nie wiesz jak to ruszyć. Pokazaliśmy Ci z Kamilem początek rozwiązania, a odnalezienie takich \(x\), ażeby wyrażenie \(k = \frac{x^2+1}{4225} \in Z\) to już jest szkoła średnia. Poćwicz intuicję jakie to mogą być \(x\)

[xan]

przepraszam ale naprawde nie wiem jak znaleźć takie iksy
szkoła srednia to raczej nie, u mnie za wiele sie w niej nie robi

[lukasz8719]

Cztery to trochę mało odpowiedzi...
Nie masz tam może założenia, że \(x\) jest liczbą pierwszą ??? Inaczej ciężko je znaleźć wszystkie...

Pytam, bo wtedy wychodzą do rozwiązania 4 układy (nie rozwiązywałem ich jeszcze i nie wiem czy wyniki są całkowite...)

[xan]

sorki nie doprecyzowałem
oczywiście cztery to mało bo jest ich oczywiście nieskońćzenie wiele
chodziło mi o cztery odpowiedzi jeśli patrzeć tylko w \(\mathbb{Z}_{4225}\)