Przekątna prostopadłościanu tworzy z dwiema krawędziami wychodzącymi z jednego wierzchołka kąty o miarach \(45^\circ\)i \(60^\circ\). Wyznacz kąt, jaki tworzy ta przekątna z trzecią krawędzią prostopadłościanu.
Za wszelką pomoc wielkie dzięki.
Przekątna prostopadłościanu - kąty.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Expert
- Posty: 4026
- Rejestracja: 01 kwie 2010, 15:35
- Lokalizacja: pod Lublinem - Niedrzwica
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1914 razy
- Płeć:
Re: Przekątna prostopadłościanu - kąty.
trojkat o kacie 45
boki
\(a, \sqrt{b^2+c^2}, \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
trojkat o kacie 45 jest prostokayny i rownoramienny
\(a= \sqrt{b^2+c^2}
a^2=b^2+c^2\)
trojkat o kacie 60
boki
\(b, \sqrt{a^2+c^2}, \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
trojkat o kacie 60 jest prostokayny z zaleznosci w trojkacie prostokatnym o kacie 60
\(\frac{ \sqrt{a^2+c^2} }{b}= \sqrt{3}
\sqrt{a^2+c^2}= \sqrt{3}b
a^2+c^2= 3b^2\)
teraz mamy uklad rownan
\(a^2=b^2+c^2
a^2+c^2= 3b^2\)
podstawiam za\(a^2\) w drugim
\(b^2+c^2+c^2=3b^2
2b^2=2c^2
b=c\)
do pierwszego rownania
\(a^2=b^2+b^2
a^2=2b^2\)
trojkat szukany
boki
\(c, \sqrt{b^2+a^2}, \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
trojkat jest prostokayny
z \(a^2=2b^2\) mamy
\(\sqrt{b^2+a^2}= \sqrt{3b^2}\)
oraz mamy
\(b=c\)
zbadajmy stosunke bokow
\(\frac{c}{ \sqrt{a^2+b^2} }= \frac{b}{\sqrt{3b^2} }= \frac{ \sqrt{3} }{3}\)
zatem stosunkew bokow wskazuje na 60 stopni
boki
\(a, \sqrt{b^2+c^2}, \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
trojkat o kacie 45 jest prostokayny i rownoramienny
\(a= \sqrt{b^2+c^2}
a^2=b^2+c^2\)
trojkat o kacie 60
boki
\(b, \sqrt{a^2+c^2}, \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
trojkat o kacie 60 jest prostokayny z zaleznosci w trojkacie prostokatnym o kacie 60
\(\frac{ \sqrt{a^2+c^2} }{b}= \sqrt{3}
\sqrt{a^2+c^2}= \sqrt{3}b
a^2+c^2= 3b^2\)
teraz mamy uklad rownan
\(a^2=b^2+c^2
a^2+c^2= 3b^2\)
podstawiam za\(a^2\) w drugim
\(b^2+c^2+c^2=3b^2
2b^2=2c^2
b=c\)
do pierwszego rownania
\(a^2=b^2+b^2
a^2=2b^2\)
trojkat szukany
boki
\(c, \sqrt{b^2+a^2}, \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
trojkat jest prostokayny
z \(a^2=2b^2\) mamy
\(\sqrt{b^2+a^2}= \sqrt{3b^2}\)
oraz mamy
\(b=c\)
zbadajmy stosunke bokow
\(\frac{c}{ \sqrt{a^2+b^2} }= \frac{b}{\sqrt{3b^2} }= \frac{ \sqrt{3} }{3}\)
zatem stosunkew bokow wskazuje na 60 stopni
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Po narysowaniu można szybko dojść do wymiarów tego prostopadłościanu
Wynoszą odpowiednio
\(a\) - ta z którą przekątna tworzy kąt \(45^o\)
\(\frac{a \sqrt{2} }{2}\) - ta z którą tworzy kąt \(60^o\)
\(a \frac{ \sqrt{6} }{2}\) - ta z którą tworzy szukany kąt
Na dodatek sama przekątna ma długość \(a \sqrt{2}\)
To wszystko ze stosunków długości boków trójkątów (90,45,45) i (90,60,30)
Przekątna podstawy o bokach \(a\) i \(\frac{a \sqrt{2} }{2}\) ma długość \(a \frac{ \sqrt{6} }{2}\) (to akurat z tw. Pitagorasa)
I na koniec też własnie z trójkąta (90,60,30) można wyznaczyć poszukiwany kąt jako \(60^o\)
Wynoszą odpowiednio
\(a\) - ta z którą przekątna tworzy kąt \(45^o\)
\(\frac{a \sqrt{2} }{2}\) - ta z którą tworzy kąt \(60^o\)
\(a \frac{ \sqrt{6} }{2}\) - ta z którą tworzy szukany kąt
Na dodatek sama przekątna ma długość \(a \sqrt{2}\)
To wszystko ze stosunków długości boków trójkątów (90,45,45) i (90,60,30)
Przekątna podstawy o bokach \(a\) i \(\frac{a \sqrt{2} }{2}\) ma długość \(a \frac{ \sqrt{6} }{2}\) (to akurat z tw. Pitagorasa)
I na koniec też własnie z trójkąta (90,60,30) można wyznaczyć poszukiwany kąt jako \(60^o\)
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria