na ile obszarów dzieli płaszczyznę n prostych

[patryk00714]

Wiemy, że zależoność rekurencyjna wygląda następująco: \(a_n=a_{n-1}+n\). Jednakże jak wyznaczyć wzór ogólny. Nurtuje mnie to i trapi, ba nawet mi to się dzisiaj śniło yy tylko nie pamiętam heh Prosze o pomoc drodzy forumowicze

[patryk00714]

ok, już mam: \(a_n=a_{n-1}+n=a_{n-2}+n-1+n=...=a_0+1+2+...+n=1+ {n+1 \choose 2 }\)

Próbowałem liczyć to standardowo tj. równaniem charakterystycznym itp, tak jak wyżej prościej jest

[KamilWit]

ok, już mam: \(a_n=a_{n-1}+n=a_{n-2}+n-1+n=...=a_0+1+2+...+n=1+ {n+1 \choose 2 }\)

Próbowałem liczyć to standardowo tj. równaniem charakterystycznym itp, tak jak wyżej prościej jest

cześć,

jeżeli powyższy wzór ( z 1 postu ) ma wyraz 1 \(a_1 = 1\)
to ma \(a_2 = 3 \\ a_4 = 10\)
i wtedy Twój powyższy zapis jest błędny .
nie ma wyrazu \(a_{-1}\) w ciągach dlatego przyjmujemy go za zero, co nie ?

wystarczy , że skasujesz 1 i będzie się zgadzało.

[patryk00714]

\(a_1=2\)
\(a_2=2+2=4\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=7+4=11\)

\(a_n=a_{n-1}+n\)

zgadza się, bo \(a_1=2\). Jedna prosta dzieli na dwa obszary płaszczyzne.

[Crazy Driver]

cześć,

jeżeli powyższy wzór ( z 1 postu ) ma wyraz 1 \(a_1 = 1\)
to ma \(a_2 = 3 \\ a_4 = 10\)
i wtedy Twój powyższy zapis jest błędny .
nie ma wyrazu \(a_{-1}\) w ciągach dlatego przyjmujemy go za zero, co nie ?

wystarczy , że skasujesz 1 i będzie się zgadzało.

Ciąg możemy sobie indeksować tak naprawdę jak chcemy. To nie ma specjalnego znaczenia. Nie ma niczego złego w tym, że Patryk zaczął od \(a_0\). Zresztą wystarczy, że napiszemy tak:

\(a_n=a_{n-1}+n,\quad n\in\mathbb{N}\) i \(n\ge2\).

[KamilWit]

tak, o to mi chodziło.
ja zapisałbym jako układ równań :

to co Ty +
\(a_1 = 2\)

ponieważ, znowu wtedy nie ma info. o poprzednim wyrazie..
więc podanie \(a_1\) czy \(a_0\) jest niezbędne moim zdaniem.
zależność rekurencyjna zazwyczaj jak nie zawsze jest podana w ten sposób..

[patryk00714]

no tak, tylko że tutaj warunek początkowy sam się narzuca