Kombinacje z powtórzeniami

[alicja_91]

Ile jest różnych wyników rzucając trzema jednakowymi kostkami jednocześnie?

Na zajęciach robiliśmy to zadanie, czyli to był multizbiór i wynik to \(56\).

Ale dla mnie to niemożliwe, wypisałam wszystkie po kolei \((1,1,1)\),\((1,2,1)\) itd. i wyszło więcej niż \(56\). Może nie bardzo rozumiem treści zadania.

[KamilWit]

kostki od 1 do 6 ? oczka w sensie ?
nie jestem na studiach , ale też nie łapie ; x czemu tylko 56..
obstawiałbym 216 = 6 * 6 * 6
a czekaj
różnych wyników znaczy
np. na dwóch kostkach
6 1 a 1 6
to dwa te same wyniki ??
bo w liceum uczą, że różne.

(
111
222
333
444
555
666
) - > 6 wyników

(112
113
114
115
116 ) 5 wyników

( 2 2 1
2 2 3
2 2 4
2 2 5
226 ) - > 5 wyników
itd.
razem 30 + 6 = 36
to jeszcze 20 : P

[alicja_91]

Dziękuje za pomoc, rzeczywiście jest \(56\). Na nowo wypisałam, bez tych samych wyników \((1,2,1)\),\((2,1,1)\)\((1,1,2)\) itd. I wyszło \(56\)

[KamilWit]

widzisz jakich mi 20 wyników zabrakło xD ?
Spoko wdrażam się w studia : P .
można było to zrobić kombinatoryką np. wariację bez powtórzeń hmmm ??

[alicja_91]

można było to zrobić kombinatoryką np. wariację bez powtórzeń hmmm ??

Nie można, bo elementy mogą się powtarzać. Tak jak już wypisałeś np. (2,2,2) itd.

[KamilWit]

fakt ; ] sam siebie zaskakuję xD
widzisz co za 20 wyników pominąłem ?

[Crazy Driver]

To zadanie rozwiązuje się w jednej linijce kiedy zauważymy, że mamy do czynienia z trójelementowymi kombinacjami z powtórzeniami (jak w tytule tematu) zbioru sześcioelementowego.

Ilość \(k\)-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru \(n\)-elementowego to \({n+k-1\choose k}\).

Mamy więc \({6+3-1\choose3}={8\choose3}=\frac{8!}{3!\cdot5!}=\frac{6\cdot7\cdot8}6=56\)

[Crazy Driver]

6 1 a 1 6
to dwa te same wyniki ??
bo w liceum uczą, że różne.

To nie jest kwestia czego uczą. Wyniki te są różne, jeśli rzucamy jedną kostką dwa razy, bo wtedy odróżniamy wynik pierwszego i drugiego rzutu. Jeśli rzucamy naraz dwiema kośćmi, to z punktu widzenia zbioru zdarzeń elementarnych naszego doświadczenia mamy po prostu wynik \(\left\{6,1\right\}\).