podzielnosc liczb, kongruencje

[17inferno]

Wykaz, ze dla kazdej liczby naturalnej \(n\) liczba:

a) \(2^{n+2}+3^{2n+1}\) jest podzielna przez \(7\)

b) \(3^{3n+1}+9^{3n+1}+1\) jest podzielna przez \(13\)

[josselyn]

a
\(1^ \circ
k=1
2^3+3^3=35=5*7
7|35
2^ \circ
n \ge k
t,z \in N_1
z:2^{n+2}+3^{2n+1}=7t
2^{n+2}=7t-3^{2n+1}
T:2^{n+3}+3^{2n+3}=7z
D:2^{n+3}+3^{2n+3}=2^{n+2}*2+3^{2n+1}*3^2=(7t-3^{2n+1})*2+3^{2n+1}*3^2=
\\2*7t-3^{2n+1}*2+3^{2n+1}*3^2=2*7t+3^{2n+1}(-2+9)=2*7t+3^{2n+1}*7=7*(2t+3^{2n+1})
(2t+3^{2n+1}) \in N\)
Na podstawie zasady indukcji matematycznej z prawdziwosci pktu 1 i 2 wynika prawdziwość \(2^{n+2}+3^{2n+1}\) jest podzialna przez 7 dla \(n \in N\)

[irena]

b)
\(3^{3n+1}=3\cdot27^n\\3\equiv3\ (mod\ 13)\\27\equiv1\ (mod\ 13)\\27^n\equiv1\ (mod\ 13)\\3\cdot27^n\equiv3\ (mod\ 13)\)

\(9^{3n+1}=9\cdot9^{3n}=9\cdot(3^{3n})^2=9\cdot(27^n)^2\\9\equiv9\ (mod\ 13)\\27^n\equiv1\ (mod\ 13)\\(27^n)^2\equiv1\ (mod\ 13)\\9^{3n+1}\equiv9\ (mod\ 13)\)

\(3^{3n+1}+9^{3n+1}+1\equiv\ 3+9+1\ (mod\ 13)\\3^{3n+1}+9^{3n+1}+1\equiv\ 0\ (mod\ 13)\)

[KamilWit]

a) \(2^{n+2}+3^{2n+1}\) jest podzielna przez \(7\)


równoważnie
\(2^n * 4 + 9^n * 3\)
stąd
\(2^n * 4 + 9^n * 3 \equiv 2 * 4 + 2 * 3 (mod 7 )\)
\(2 * 4 + 2 * 3 = 8 + 6 = 14\)
a,
\(14 \equiv 0 (mod 7 )\)

[kamil13151]

a) \(2^{n+2}+3^{2n+1}\) jest podzielna przez \(7\)


równoważnie
\(2^n * 4 + 9^n * 3\)
stąd
\(2^n * 4 + 9^n * 3 \equiv 2 * 4 + 2 * 3 (mod 7 )\)
\(2 * 4 + 2 * 3 = 8 + 6 = 14\)
a,
\(14 \equiv 0 (mod 7 )\)

Jak dla mnie ten dowód jest do kitu.
\(2^n * 4 + 9^n * 3 \equiv 2 * 4 + 2 * 3 \pmod 7\)
Skąd te przystawanie? Ot tak na boku zobaczyłeś, że działa i wpisałeś?
Tak się kongruencjami nie dowodzi.

Tak to powinno wyglądać:
Zauważamy, że:
\(9 \equiv 2 \ \pmod 7 \ \ \Rightarrow \ \ 3^{2n+1}=9^n \cdot 3 \equiv 2^n \cdot 3 \ \pmod 7\)

Zatem równoważnie mamy do udowodnienia:
\(2^{n+2}+2^n \cdot 3 \equiv 0 \ \pmod 7\)
To nic innego niż
\(2^n \cdot 7 \equiv 0 \ \pmod 7\)
Co jest oczywiste.

[KamilWit]

a) \(2^{n+2}+3^{2n+1}\) jest podzielna przez \(7\)


równoważnie
\(2^n * 4 + 9^n * 3\)
stąd
\(2^n * 4 + 9^n * 3 \equiv 2 * 4 + 2 * 3 (mod 7 )\)
\(2 * 4 + 2 * 3 = 8 + 6 = 14\)
a,
\(14 \equiv 0 (mod 7 )\)

\(2^n \equiv 2 ( mod 7 ) \\ 4\equiv4 ( mod 7 ) \\ 9^n \equiv 2 ( mod 7 )\\ 3 \equiv 3 ( mod 7 ) \\\)
i wszystko wstawiłem do powyższego równania xd
tak w kazdym razie zrobilem xd

[kamil13151]

\(2^n \equiv 2 ( mod 7 ) \\ 9^n \equiv 2 ( mod 7 )\)
i wszystko wstawiłem do powyższego równania xd

Dwie głupoty Wracaj do podręcznika...

Tak nawiasem piszemy \(\pmod 7\) \pmod 7

[17inferno]

dzieki za pomoc