Dana jest funkcja wielu zmiennych. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem każdej ze zmiennych niezależnych.
\(1.
z= \sqrt{x^4+y^2}
2.
z=( \frac{x}{y} )^y
3.
f(x,y)= \frac{xcosy}{ \sqrt{x^2+y^2} }\)
Funkcja wielu zmiennych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Re: Funkcja wielu zmiennych
1.
\(z'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^4+y^2}}\cdot 4x^3 = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4+y^2}}\)
\(z'(y) = \frac{1}{2\sqrt{x^4+y^2}}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^4+y^2}}\)
\(z'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^4+y^2}}\cdot 4x^3 = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4+y^2}}\)
\(z'(y) = \frac{1}{2\sqrt{x^4+y^2}}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^4+y^2}}\)
Re: Funkcja wielu zmiennych
3.
\(f'(x)=\frac{cosy \cdot \sqrt{x^2+y^2} - xcosy \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=\frac{\frac{(x^2+y^2)cosy}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{x^2cosy}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{y^2cosy}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(f'(y)=\frac{-xsiny \cdot \sqrt{x^2+y^2} - xcosy \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=\frac{\frac{-x(x^2+y^2)siny}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xycosy}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{-x[(x^2+y^2)siny + ycosy]}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(f'(x)=\frac{cosy \cdot \sqrt{x^2+y^2} - xcosy \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=\frac{\frac{(x^2+y^2)cosy}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{x^2cosy}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{y^2cosy}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(f'(y)=\frac{-xsiny \cdot \sqrt{x^2+y^2} - xcosy \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=\frac{\frac{-x(x^2+y^2)siny}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xycosy}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{-x[(x^2+y^2)siny + ycosy]}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\)