Funkcja tworząca

[saszaw90]

Bardzo prosiłbym o sprawdzenie:

mamy \(a_1=1, a_2=5,a_3=1\)

\(a_n=a_{n-1}+4a_{n-2}-4a_{n-3}\)

\(f(x)=x+5x^2+x^3+ x\sum_{n=2 }^{ \infty } a_nx^n+4x^2 \sum_{ n=1 }^{ \infty } a_n x^n - 4x^3 \sum_{ n=0 }^{ \infty }a_n x^n = x+5x^2+x^3+ x\sum_{n=0 }^{ \infty } a_nx^n - x^2+4x^2 \sum_{ n=0 }^{ \infty } a_n x^n - 4x^3 \sum_{ n=0 }^{ \infty }a_n x^n = x+4x^2+x^3+xf(x)+4x^2f(x)-4x^3f(x)\)

Funkcja tworząca to: \(f(x)= \frac{x+4x^2+x^3}{1-x-4x^2+4x^3}\)

Czy funkcja tworząca jest ok? Jeśli tak, to dalej:

\(f(x)= \frac{x+4x^2+x^3}{1-x-4x^2+4x^3}=\frac{x+4x^2+x^3}{(2x-1)(2x+1)(x+1)} = \frac{A}{(2x-1)}+ \frac{B}{(2x+1)}+ \frac{C}{(x+1)}\)

Potem dalej to już mam problem:

zrobiłem tak:
\(x+4x^2+x^3=A(2x^2+3x+1)+B(2x^2+x+1)+C(4x^2-1)\)
\(\left\{\begin{array}{l} 0=A+B-C\\1=3A+B\\4=2A+2B+4C \end{array}\)

zostało mi \(x^3\) po lewej stronie, nie wiem, co mam z tym zrobić?

[octahedron]

Najpierw podziel licznik przez mianownik. Rozkładać na ułamki proste możemy wtedy, gdy stopień mianownika jest większy niż licznika.

[saszaw90]

Najpierw podziel licznik przez mianownik. Rozkładać na ułamki proste możemy wtedy, gdy stopień mianownika jest większy niż licznika.

A no tak, zapomniałem o tym
A funkcja tworząca jest ok?

Podzieliłem licznik przez mianownik i wyszło, że \(\frac{1}{4}\)? Czyli jest dobry wynik?

[janekk]

funkcja tworząca jest zła, gdy sumujesz od zera (z sumy od 2) to jeszcze musisz odjąć pierwszy \(a_0\)
Mi wyszło: \(f(x)=\frac{2-x-4x^2 }{1-x-4x^2 +4x^3 }\)

[saszaw90]

funkcja tworząca jest zła, gdy sumujesz od zera (z sumy od 2) to jeszcze musisz odjąć pierwszy \(a_0\)
Mi wyszło: \(f(x)=\frac{2-x-4x^2 }{1-x-4x^2 +4x^3 }\)

\(a_0\) chyba wynosi \(0\) i nie trzeba odejmować. Odjąłem tylko \(a_1\). Choć sam nie wiem.

[janekk]

jak dla mnie \(a_0 =2\)
podstaw do wzoru rekurencyjnego \(n=3\)

[saszaw90]

jak dla mnie \(a_0 =2\)
podstaw do wzoru rekurencyjnego \(n=3\)

Łał, to nie wiedziałem i nie pomyślalem. Myślałem, że skoro nie ma w danych \(a_0\) to po prostu będzie \(0\). Czyli to poważny błąd.

Dzięki, że to napisałeś

[saszaw90]

Coś tu się nie zgadza. Zrobiłem od nowa i mi wyszło, że \(f(x)= \frac{2-x-4x^2+x^3}{1-x-4x^2+4x^3}\) Czemu nie umieściłeś \(a_3\)? Tylko \(a_0\), \(a_1\) i \(a_2\), a co z \(a_3\)?

Czy tylko po prostu wystarczą trzy początkowe wyrazy ciągu?

[janekk]

ja inną metodą to liczę,
rozpisuję: \(f(x)=a_0 +a_1 x +a_2 x^2 +a_3 x^3 +...\)
\(xf(x)=a_0 x +a_1 x^2 +a_3 x^3 +...\)
\(x^2 f(x) =a_0 x^2 +a_1 x^3 +...\)
\(x^3 f(x)=a_0 x^3 +..\)
i teraz 1 wiersz -drugi-4 razy trzeci +4 razy czwarty:
\(f(x)(1-x-4x^2 +4x^3 )=a_0 +(a_1 -a_0)x +(a_2 -a_1 -4a_0 )x^2 +(a_3 -a_2 -4a_1 +4a_0 )x^3 +...\)
i współczynniki przy \(x^3\) i wyższych się zerują

[saszaw90]

ja inną metodą to liczę,
rozpisuję: \(f(x)=a_0 +a_1 x +a_2 x^2 +a_3 x^3 +...\)
\(xf(x)=a_0 x +a_1 x^2 +a_3 x^3 +...\)
\(x^2 f(x) =a_0 x^2 +a_1 x^3 +...\)
\(x^3 f(x)=a_0 x^3 +..\)
i teraz 1 wiersz -drugi-4 razy trzeci +4 razy czwarty:
\(f(x)(1-x-4x^2 +4x^3 )=a_0 +(a_1 -a_0)x +(a_2 -a_1 -4a_0 )x^2 +(a_3 -a_2 -4a_1 +4a_0 )x^3 +...\)
i współczynniki przy \(x^3\) i wyższych się zerują

No faktycznie, to jest bardzo dobra metoda. Rzeczywiście, współczynnik przy \(x^3\) się zeruje.

Tylko dlaczego nie zeruje się współczynnik przy \(x^3\) tym moim sposobem? Już długo myślałem, nie mogę znaleźć jakiegoś błędu, ale musi być, tylko gdzie?

Napiszę tu, jak wygląda moje rozwiązanie:
\(f(x)=2+x+5x^2+x^3+ x\sum_{n=0 }^{ \infty } a_nx^n - 2x-x^2+4x^2 \sum_{ n=0 }^{ \infty } a_n x^n -8x^2- 4x^3 \sum_{ n=0 }^{ \infty }a_n x^n =
= 2-x-4x^2+x^3+xf(x)+4x^2f(x)-4x^3f(x)\)

Jak to możliwe, że cały czas jest \(x^3\)?