Oblicz sumę
\(\left( 2+ \frac{1}{2} \right)^2+ \left( 4+ \frac{1}{4} \right)^2+...+(2^n+ \frac{1}{2^n})^2\)
Oblicz sumę
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Każdy ze składników można zapisać przy pomocy potęgi liczby 2 oraz w postaci sumy trzech skadników i wtedy
\((2^2+2*2^1* \frac{1}{2^1}+ \frac{1}{2^2} )+(2^4+2*2^2* \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4})+...+(2^{2n}+2*2^{2n}* \frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n}})=
(2^2+2^4+...+2^{2n})+(2+2+...+2)+( \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{2^4} +...+ \frac{1}{2^{2n}} )\)
Dwa skrajne składniki (nawiasy) są sumami skończonych ciągów geometrycznych o n wyrazach i a1 i q odpowiednio 4 i 2 oraz 1/4 i 1/2. Środkowy składnik zawiera n elementów i jego suma wynosi 2*n.
Czyli szukana suma wynosi
\(4* \frac{1-2^n}{1-2}+2n+ \frac{1}{4} * \frac{1-( \frac{1}{2} )^n}{1- \frac{1}{2} } = 4*2^n-4+2n+ \frac{1}{2}- \frac{1}{2^n}= \frac{2^{2(n+1)}-1}{2^n}+2n- \frac{7}{2}\)
Mam nadzieję, że nie ma błędów w obliczeniach...
\((2^2+2*2^1* \frac{1}{2^1}+ \frac{1}{2^2} )+(2^4+2*2^2* \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4})+...+(2^{2n}+2*2^{2n}* \frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n}})=
(2^2+2^4+...+2^{2n})+(2+2+...+2)+( \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{2^4} +...+ \frac{1}{2^{2n}} )\)
Dwa skrajne składniki (nawiasy) są sumami skończonych ciągów geometrycznych o n wyrazach i a1 i q odpowiednio 4 i 2 oraz 1/4 i 1/2. Środkowy składnik zawiera n elementów i jego suma wynosi 2*n.
Czyli szukana suma wynosi
\(4* \frac{1-2^n}{1-2}+2n+ \frac{1}{4} * \frac{1-( \frac{1}{2} )^n}{1- \frac{1}{2} } = 4*2^n-4+2n+ \frac{1}{2}- \frac{1}{2^n}= \frac{2^{2(n+1)}-1}{2^n}+2n- \frac{7}{2}\)
Mam nadzieję, że nie ma błędów w obliczeniach...
-
bednar1991
- Dopiero zaczynam
- Posty: 15
- Rejestracja: 23 sty 2010, 08:50
Sorki, powinno być q odpowiednio 4 i 1/4. Wtedy wynik wychodzi dokładnie taki jak w odpowiedzi (trzeba sprowadzić wyrażenie bez składnika "2n" do wspólnego mianownika), a potem licznik doprowadzić do postaci iloczynowej.
Czyli szukana suma wynosi
\(4* \frac{1-4^n}{1-4}+2n+ \frac{1}{4} * \frac{1-( \frac{1}{4} )^n}{1- \frac{1}{4} }=...\)
Czyli szukana suma wynosi
\(4* \frac{1-4^n}{1-4}+2n+ \frac{1}{4} * \frac{1-( \frac{1}{4} )^n}{1- \frac{1}{4} }=...\)
Re: Oblicz sumę
Hm... A nie dałoby rady jakoś inaczej tego rozwiązać? Bo nie do końca rozumiem tego sposób.
Proszę.
Proszę.
\((2+\frac{1}{2})^2+(4+\frac{1}{4})^2+...+(2^n+\frac{1}{2^n})^2\)
Zobacz:
\((2+\frac{1}{2})^2=2^2+\frac{1}{2^2}+2\\(4+\frac{1}{4})^2=4^2+\frac{1}{4^2}+2\\.\\.\\.\\(2^n+\frac{1}{2^n})^2=2^{2n}+\frac{1}{2^{2n}}+2\)
I ta wyjściowa suma:
\(S=(2^2+4^2+...+2^{2n})+(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2^{2n}})+(2+2+...+2)=(4+16+...+2^{2n})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{2n}})+2n\)
Pierwszy nawias to suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym:
\(a_1=2^2=4\\q=2^2=4\\S_{n_1}=4\cdot\frac{1-4^n}{1-4}=4\cdot\frac{4^n-1}{3}=\frac{4\cdot4^n-4}{3}\)
Drugi nawias to też suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym:
\(b_1=\frac{1}{4}\\Q=\frac{1}{4}\\S_{n_2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\frac{1}{4^n}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4^n-1}{3\cdot4^n}\)
I cała suma:
\(S=\frac{4\cdot4^n-1}{3}+\frac{4^n-1}{3\cdot4^n}+2n=2n+\frac{4\cdot4^{2n}-4\cdot4^n+4^n-1}{3\cdot4^n}=\\=2n+\frac{4\cdot4^{2n}-3\cdot4^n-1}{3\cdot4^n}=2n+\frac{4\cdot4^n+1)(4^n-1)}{3\cdot4^n}=\\=2n+\frac{(4^{n+1}+1)(4^n-1)}{3\cdot4^n}\)
Zobacz:
\((2+\frac{1}{2})^2=2^2+\frac{1}{2^2}+2\\(4+\frac{1}{4})^2=4^2+\frac{1}{4^2}+2\\.\\.\\.\\(2^n+\frac{1}{2^n})^2=2^{2n}+\frac{1}{2^{2n}}+2\)
I ta wyjściowa suma:
\(S=(2^2+4^2+...+2^{2n})+(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2^{2n}})+(2+2+...+2)=(4+16+...+2^{2n})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{2n}})+2n\)
Pierwszy nawias to suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym:
\(a_1=2^2=4\\q=2^2=4\\S_{n_1}=4\cdot\frac{1-4^n}{1-4}=4\cdot\frac{4^n-1}{3}=\frac{4\cdot4^n-4}{3}\)
Drugi nawias to też suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym:
\(b_1=\frac{1}{4}\\Q=\frac{1}{4}\\S_{n_2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\frac{1}{4^n}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4^n-1}{3\cdot4^n}\)
I cała suma:
\(S=\frac{4\cdot4^n-1}{3}+\frac{4^n-1}{3\cdot4^n}+2n=2n+\frac{4\cdot4^{2n}-4\cdot4^n+4^n-1}{3\cdot4^n}=\\=2n+\frac{4\cdot4^{2n}-3\cdot4^n-1}{3\cdot4^n}=2n+\frac{4\cdot4^n+1)(4^n-1)}{3\cdot4^n}=\\=2n+\frac{(4^{n+1}+1)(4^n-1)}{3\cdot4^n}\)
