Funkcje trygonometryczne, równania itp.

[R33TSW]

1. UDowodnij równość \(\frac{1}{sin 10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{cos 10^{\circ}} = 4\)
2. Wiedząć, że \(tg \alpha = -2\), oblicz wartość wyrażenia:
\(\frac{sin^{3} \alpha - 3 cos^{3} \alpha}{5sin \alpha - cos \alpha}\)
3. Wykonaj wykres funkcji:
\(f(x) = sinx \cdot |sinx| + cosx \cdot |cosx|\)
4. Oblicz wartość wyrażenia:
\(\frac{sinx + sin2x + sin3x}{2cosx+1}\)
5. Wyznacz zbiór wartości funkcji
\(f(x) = 2cos^{2}x - cosx\)

[anka]

1. UDowodnij równość \(\frac{1}{sin 10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{cos 10^{\circ}} = 4\)

\(sin(30^o-10^o)=sin20^o=2sin10^o cos10^o\)
\(\frac{1}{2}cos10^o- \frac{ \sqrt{3} }{2} sin10^o=2sin10^o cos10^o\)
\(cos10^o- \sqrt{3}sin10^o=4sin10^o cos10^o\)

\(L=\frac{1}{sin 10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{cos 10^{\circ}}=\frac{cos 10^o-\sqrt{3}sin10^o}{cos 10^o sin10^o}= \frac{4sin10^o cos10^o}{cos 10^o sin10^o}=4=P\)

[Lbubsazob]

Zad. 3
\(f(x)=\begin{cases} \sin^2 x+\cos^2 x=1 \ \text{dla} \ \sin x\ge 0 \wedge \cos x\ge 0 \\
-\sin^2 x+\cos^2 x=\cos 2x \ \text{dla} \ \sin x<0 \wedge \cos x\ge 0 \\
\sin^2-\cos^2 x=-\cos 2x \ \text{dla} \ \sin x\ge 0 \wedge \cos x<0 \\
-\sin^2 x-\cos^2 x=-1 \ \text{dla} \ \sin x<0 \wedge \cos x<0 \end{cases}\)

[anka]

2. Wiedząć, że \(tg \alpha = -2\), oblicz wartość wyrażenia:
\(\frac{sin^{3} \alpha - 3 cos^{3} \alpha}{5sin \alpha - cos \alpha}\)

\(tg \alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=-2 \Rightarrow sin\alpha=-2cos\alpha\)

\(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)
\((-2cos\alpha)^2+cos^2\alpha=1\)
\(cos^2\alpha= \frac{1}{5}\)

\(\frac{(-2cos\alpha)^{3} - 3 cos^{3} \alpha}{5(-2cos\alpha) - cos \alpha}= \frac{-8 cos^3\alpha-3 cos^{3} \alpha}{-10 cos\alpha-cos \alpha}= \frac{-11 cos^3\alpha}{-11 cos\alpha} =cos^2 \alpha= \frac{1}{5}\)

[anka]

4. Wartość wyrażenia dla?

[anka]

5. Wyznacz zbiór wartości funkcji
\(f(x) = 2cos^{2}x - cosx\)

\(cosx=t, t \in <-1;1>\)

\(f(t)=2t^2-t\)
\(f(-1)=3\)
\(f(1)=1\)

Obliczam rzędną wierzchołka paraboli
\(q=- \frac{\Delta}{4a} =- \frac{(-1)^2-4 \cdot 2 \cdot 0}{4 \cdot 2} =- \frac{1}{8}\)

\(D=<- \frac{1}{8} ;3>\)

[irena]

4.
\(\frac{sinx+sin2x+sin3x}{2cosx+1}=\\ \left(sin3x+sinx=2sin2x cosx \right) \\=\frac{2sin2x cosx+sin2x}{2cosx+1}=\frac{sin2x(2cosx+1)}{2cosx+1}=sin2x\)

[R33TSW]

\(\frac{1}{2}cos10^o- \frac{ \sqrt{3} }{2} sin10^o=2sin10^o cos10^o\)
\(cos10^o- \sqrt{3}sin10^o=4sin10^o cos10^o\)

Skąd Ci wyszło coś takiego?

[radagast]

Z jednej strony:

\(sin20^ \circ =2sin10^ \circ cos10^ \circ\)

z drugiej strony:

\(sin20^ \circ =sin(30^ \circ -10^ \circ )=sin30^ \circ cos10^ \circ -sin10^ \circ cos 30 ^ \circ= \frac{1}{2}cos10^ \circ- \frac{ \sqrt{3} }{2} sin10^ \circ\)

[maromaro]

Wiem ze odgrzebuje ale skad w 4 zadaniu jest ten wzor \(\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x\)

[Lbubsazob]

\(\sin 3x=\sin (2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x\)

\(\sin 3x+\sin x=2\sin x\cos x\cos x+(\cos^2x-\sin^2x)\sin x +\sin x=\sin x \left[ 2\cos^2x+\cos^2x-\sin^2x+1\right]=\\=\sin x \left[ 3\cos^2x-1+\cos^2x+1\right] =4\sin x\cos^2x=4\sin x\cos x\cos x=2\sin 2x\cos x\)

[josselyn]

wzor na sume sinusów
\(sin3x+sinx=2sin( \frac{3x+x}{2} )cos( \frac{3x-x}{2} )=2sin(2x)cosx\)