Wykaż, że jeżeli liczby a i b są rozne od zera i wykresy funkcji f(x)=a2^x + b i g(x)=b2^(-x) + a mają dokładnie jeden punktwspólny, to iloczyn ab jest liczba dodatnia.
Licze i wychodzi mi, ze ab to liczba ujemna...
funkcja wykladnicza
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Nikola6523
- Dopiero zaczynam
- Posty: 20
- Rejestracja: 15 mar 2009, 18:47
funkcja wykladnicza
Ostatnio zmieniony 08 maja 2009, 16:50 przez Nikola6523, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Pol
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
\(a2^x+b=b2^{-x}+a \ /\cdot (2^x)\\
a4^x+b2^x=b+a2^x\\
a2^x(2^x-1)+b(2^x-1)=0\\
(a2^x+b)(2^x-1)=0\)
\(2^x = -\frac b a\) lub \(x = 0\)
ponieważ \(2^x > 0\) to \(-\frac b a > 0\)
\(2^x = -\frac b a\)
nie może mieć rozwiązania, a to będzie zachodziło wtedy, gdy
\(-\frac b a< 0\)
powyższy warunek jest spełniony kiedy a i b są tych samych znaków, czyli \(a\cdot b > 0\)
a4^x+b2^x=b+a2^x\\
a2^x(2^x-1)+b(2^x-1)=0\\
(a2^x+b)(2^x-1)=0\)
\(2^x = -\frac b a\) lub \(x = 0\)
ponieważ \(2^x > 0\) to \(-\frac b a > 0\)
\(2^x = -\frac b a\)
nie może mieć rozwiązania, a to będzie zachodziło wtedy, gdy
\(-\frac b a< 0\)
powyższy warunek jest spełniony kiedy a i b są tych samych znaków, czyli \(a\cdot b > 0\)
Ostatnio zmieniony 08 maja 2009, 18:00 przez Pol, łącznie zmieniany 1 raz.
-
dragon
- Rozkręcam się
- Posty: 43
- Rejestracja: 03 kwie 2012, 19:04
- Lokalizacja: Łódź
- Otrzymane podziękowania: 22 razy
- Płeć:
W treści zadania jest niestety błąd polegający na nieścisłości twierdzenia. W tezie brakuje zwrotu "(...) lub liczby te są przeciwne." Z równania wynika, że \2^{x}=-frac{b}{a}=0 \vee \2^{x}=1.
czyli pewnym rozwiązaniem jest liczba x=0. Co więcej, gdy narzucimy warunek, że ma być ona rozwiązaniem równania \2^{x}=-frac{b}{a}=0, to dostaniemy: \-frac{b}{b}=1, czyli b=-a. Są to liczby przeciwne, a ich iloczyn jest ujemny.
Zadanie można też zrobić sprowadzając wyjściową formę zdaniową do równania kwadratowego (po podstawieniu \2^{x}=t, t>0).
Wówczas otrzymujemy: \at^{2}+(b-a)t-b=0. Wyróżnik tego równania: \Delta=(a+b)^{2}. Aby wykresy funkcji miały dokładnie jeden punkt wspólny, musimy narzucić \Delta=0 \vee (\Delta>0 \wedge t_1 <0), gdzie t_1= -\frac{b}{a} \wedge t_2=1.
czyli pewnym rozwiązaniem jest liczba x=0. Co więcej, gdy narzucimy warunek, że ma być ona rozwiązaniem równania \2^{x}=-frac{b}{a}=0, to dostaniemy: \-frac{b}{b}=1, czyli b=-a. Są to liczby przeciwne, a ich iloczyn jest ujemny.
Zadanie można też zrobić sprowadzając wyjściową formę zdaniową do równania kwadratowego (po podstawieniu \2^{x}=t, t>0).
Wówczas otrzymujemy: \at^{2}+(b-a)t-b=0. Wyróżnik tego równania: \Delta=(a+b)^{2}. Aby wykresy funkcji miały dokładnie jeden punkt wspólny, musimy narzucić \Delta=0 \vee (\Delta>0 \wedge t_1 <0), gdzie t_1= -\frac{b}{a} \wedge t_2=1.