Wielomian
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Wielomian
Wielomian W dany jest wzorem
\(w(x)=x^3 -2x^2 -x+2\)
a)sprawdź, czy wielomian W jest podzielny przez dwumian x+2
b)wyznacz pierwiastki wielomianu w
c)wyznacz wartosci parametru m, dla których wielomian G, określony wzorem G(x)=W(x) + mx-2, ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni
\(w(x)=x^3 -2x^2 -x+2\)
a)sprawdź, czy wielomian W jest podzielny przez dwumian x+2
b)wyznacz pierwiastki wielomianu w
c)wyznacz wartosci parametru m, dla których wielomian G, określony wzorem G(x)=W(x) + mx-2, ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni
- domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
a. wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a, jeżeli W(a)=0, sprawdźmy:
\(W(-2)=(-2)^3-2\cdot (-2)^2-(-2)+2=-8-8+2+2=-12 \neq 0\)
W(x) nie jest podzielny przez x+2
b.
\(x^3-2x^2-x+2=0
x(x^2-1)-2(x^2-1)=0
(x-2)(x^2-1)=0
(x-2)(x+1)(x-1)=0
x=2 \ \vee \ x=-1 \ \vee \ x=1\)
pierwiastki wielomianu W(x) są liczy -1,1 oraz 2
c.
\(G(x)=x^3-2x^2-x+2+mx-2=x^3-2x^2+(m-1)x=x[x^2-2x+(m-1)]\)
więc wielomian G(x) ma na pewno jeden pierwiastek x=0, pozostało sprawdzić, kiedy trójmian \(x^2-2x+(m-1)\) ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni:
\(\Delta=4-4(m-1)=4(1-m+1)=-4(m-2)\)
1. \(\Delta=0 \ \Leftrightarrow \ -4(m-2)=0 \ \Rightarrow \ m=2\)
\(x_o =\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2}=1\)
\(\Delta > 0 \ \Leftrightarrow \ -4(m-2) >0 \ \Rightarrow \ m-2 <0 \ \Rightarrow \ m<2\)
1. jeden dodatni, jeden ujemny: \(x_1 \cdot x_2 <0 \ \Rightarrow \ \frac{c}{a}<0 \ \Rightarrow \ m-1<0 \ \Rightarrow \ m<1\)
2. dwa dodatnie: \(\begin{cases} x_1+x_2 >0 \\ x_1 \cdot x_2 >0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} \frac{-b}{a} >0 \\ \frac{c}{a} >0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} 2>0 \\ m-1>0 \end{cases} \ \Rightarrow \ m>1\)
zbieramy wszystko:
dla m=2 trójmian ma jeden pierwiastek podwójny x=1
\(\begin{cases} m<1 \\ m<2 \end{cases} \ \Rightarrow \ m<1\) jeden dodatni, jeden ujemny
\(\begin{cases} m>1 \\ m<2 \end{cases} \ \Rightarrow \ m\in (1;2)\) dwa dodatnie
\(m=2 \ \vee \ m<1 \ \vee \ m\in (1;2) \ \Rightarrow \ m\in (-\infty;2>\)
\(W(-2)=(-2)^3-2\cdot (-2)^2-(-2)+2=-8-8+2+2=-12 \neq 0\)
W(x) nie jest podzielny przez x+2
b.
\(x^3-2x^2-x+2=0
x(x^2-1)-2(x^2-1)=0
(x-2)(x^2-1)=0
(x-2)(x+1)(x-1)=0
x=2 \ \vee \ x=-1 \ \vee \ x=1\)
pierwiastki wielomianu W(x) są liczy -1,1 oraz 2
c.
\(G(x)=x^3-2x^2-x+2+mx-2=x^3-2x^2+(m-1)x=x[x^2-2x+(m-1)]\)
więc wielomian G(x) ma na pewno jeden pierwiastek x=0, pozostało sprawdzić, kiedy trójmian \(x^2-2x+(m-1)\) ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni:
\(\Delta=4-4(m-1)=4(1-m+1)=-4(m-2)\)
1. \(\Delta=0 \ \Leftrightarrow \ -4(m-2)=0 \ \Rightarrow \ m=2\)
\(x_o =\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2}=1\)
\(\Delta > 0 \ \Leftrightarrow \ -4(m-2) >0 \ \Rightarrow \ m-2 <0 \ \Rightarrow \ m<2\)
1. jeden dodatni, jeden ujemny: \(x_1 \cdot x_2 <0 \ \Rightarrow \ \frac{c}{a}<0 \ \Rightarrow \ m-1<0 \ \Rightarrow \ m<1\)
2. dwa dodatnie: \(\begin{cases} x_1+x_2 >0 \\ x_1 \cdot x_2 >0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} \frac{-b}{a} >0 \\ \frac{c}{a} >0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} 2>0 \\ m-1>0 \end{cases} \ \Rightarrow \ m>1\)
zbieramy wszystko:
dla m=2 trójmian ma jeden pierwiastek podwójny x=1
\(\begin{cases} m<1 \\ m<2 \end{cases} \ \Rightarrow \ m<1\) jeden dodatni, jeden ujemny
\(\begin{cases} m>1 \\ m<2 \end{cases} \ \Rightarrow \ m\in (1;2)\) dwa dodatnie
\(m=2 \ \vee \ m<1 \ \vee \ m\in (1;2) \ \Rightarrow \ m\in (-\infty;2>\)
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 25 sty 2012, 22:58
- Płeć:
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 25 sty 2012, 22:58
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 289
- Rejestracja: 30 gru 2013, 15:40
- Podziękowania: 94 razy
- Otrzymane podziękowania: 11 razy
- Płeć:
Re: Wielomian
podpunkt c, 1 założenie
Skoro delta jest równa 0, to mamy tylko jeden pierwiastek. Dlaczego zakładasz, że 1 jest dodatni, a drugi ujemny? W tej sytuacji występuje tylko 1 dodatni, moim zdaniem.
Skoro delta jest równa 0, to mamy tylko jeden pierwiastek. Dlaczego zakładasz, że 1 jest dodatni, a drugi ujemny? W tej sytuacji występuje tylko 1 dodatni, moim zdaniem.
-
- Stały bywalec
- Posty: 289
- Rejestracja: 30 gru 2013, 15:40
- Podziękowania: 94 razy
- Otrzymane podziękowania: 11 razy
- Płeć:
Re: Wielomian
I kiedy delta jest większa od 0, mamy 2 rozwiązania: 1 dodatni i 1 ujemny oraz oba dodatniehaharuka pisze:podpunkt c, 1 założenie
Skoro delta jest równa 0, to mamy tylko jeden pierwiastek. Dlaczego zakładasz, że 1 jest dodatni, a drugi ujemny? W tej sytuacji występuje tylko 1 dodatni, moim zdaniem.
Re:
Też mi się wydaje, że poprawną odpowiedzią będzie \(m \in (- \infty , 2> - \left\{1 \right\}\)philo pisze:mam pytanie, czy z tego czasem nie wynika, że jeden nie należy do rozwiązania ?domino21 pisze:\(m=2 \ \vee \ m<1 \ \vee \ m\in (1;2) \ \Rightarrow \ m\in (-\infty;2>\)