niezależność zdarzeń i prawdopodobieństwo geometryczne

[mcmcjj]

1. Zdarzenia A i B spełniają: \(P(B)=0,42\) , \(P(A \cup B)=0,5\). A,B - niezależne. Oblicz P(A). (Odp.: 0,137931)
2. Zdarzenia A,B,C są niezależne. \(P(A)=P(B)=P(C)=0,24\). Oblicz (a) \(P(A \cap B \cap C)\) i (b) \(P(A \cup B \cup C)\). (Odp.: a) 0,013824 b) 0,561024 )
3. Na płaszczyznę z prostymi pionowymi odległymi o 17 rzucono monetę o r=3. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że nie przetnie ona żadnej prostej ? (Odp.: 0,6470588)
4. Na płaszczyznę pokrytą kwadratami o boku 17 rzucono monetę o r=4. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że przetnie ona jakiś bok ? (Odp.: 0,7197231)

ad. 1.

Wydawało mi się, że można to policzyć na podstawie \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\), ale wynik nie zgadza się z odpowiedzią.

[janekk]

1) A,B niezależne więc wiesz, że: \(P(A \cap B) =P(A)P(B)\) i wychodzi tak jak w odpowiedzi

[irena]

1.
\(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\\P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\0,5=P(A)+0,42-P(A)\cdot0,42\\0,58P(A)=0,08\\P(A)=\frac{4}{29}\approx0,13793\)

[mcmcjj]

Dzięki za odpowiedź.

Czyli w sumie trzeba wziąć dwa wzory \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\) i \(P(A \cap B) =P(A)P(B)\), z których wychodzi \(P(A)= \frac{P(A \cup B)-P(B)}{1-P(B)}\).

Nie wiem jak sobie poradzić z następnymi. Myślałem, że \(P(A \cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)\), ale się myliłem.

[irena]

2.
\(P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)=0,24^3=0,013824\)

\(P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)\\P(A\cup B\cup C)=3\cdot0,24-3\cdot0,24^2+0,24^3=0,72-0,1728+0,013824=0,561024\)

[irena]

3.
Moneta nie przetnie żadnej prostej, jeśli środek tej monety będzie oddalony od każdej z nich o co najmniej 3, czyli na każdą odległość równą 17, środek może być na odcinku 17-3-3=11.
\(P(A)=\frac{11}{17}\approx0,6470588\)

[irena]

4.
Narysuj kwadrat o boku 17. Poprowadź odcinki równoległe go boków w odległości 4 od każdego z nich. Wycinają one kwadrat o boku 17-8=9.
Jeśli środek monety będzie w tym środkowym kwadracie, to moneta nie przetnie żadnego boku kwadratu wyjściowego.
\(P(A)=\frac{17^2-9^2}{17^2}=\frac{289-81}{289}=\frac{208}{289}\approx0,7197231\)

[mcmcjj]

Dziękuję, teraz rozumiem.

Mam jeszcze problem z jednym dot. prawdopodobieństwa geometrycznego.

"Na płaszczyznę z prostymi pionowymi odległymi o 17 rzucono odcinek długości 5. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że przetnie on jakąś prostą ? (Odp.: 0,5882/pi)"

Myślałem o jakiejś analogii z monetą (ściślej z jej średnicą), ale to tak chyba nie działa. Jak to uzależnić od kąta ? Jeśli przyjąć, że proste pionowe są równoległe do osi y, natomiast prostopadłe do x, to można wykorzystać miarę kąta między połową odcinka i prostą przechodzącą przez jego środek, równoległą do osi x. Tylko nie wiem za bardzo jak to zapisać (omega i zdarzenie A) i policzyć.

[janekk]

poszukaj zadania o Igle Buffona

[irena]

http://pl.wikipedia.org/wiki/Ig%C5%82a_Buffona

[mcmcjj]

Dziękuję za podpowiedź.