całka z liczbą e

[hiohiohio55]

Proszę o pomoc przy policzeniu takiej całki \(\int \frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}dx\). w podpowiedzi jest żeby to robić przez podstawienie

[radagast]

\(\int \frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}dx= \left(1+e^{2x}=t^2\\x= \frac{ln(t^2-1)}{2} \\dx= \frac{tdt}{t^2-1} \right)=\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2} \int \frac{dt}{t-1}-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t+1}=\frac{1}{2}ln|t-1|-\frac{1}{2}ln|t+1|+C= \frac{1}{2}ln \frac{|t-1|}{|t+1|}+C=
\frac{1}{2}ln \frac{| \sqrt{1+e^{2x}} -1|}{| \sqrt{1+e^{2x}}+1|}+C\)

[hiohiohio55]

mam pytanie w jaki sposób został wyliczony x?

[radagast]

\(1+e^{2x}=t^2\)

\(e^{2x}=t^2-1\)

\({2x}=ln(t^2-1)\)

\({x}= \frac{1}{2} ln(t^2-1)= \frac{ln(t^2-1)}{2}\)

[domino21]

\(1+e^{2x}=t^2
e^{2x}=t^2-1
\ln e^{2x} =\ln (t^2-1)
2x=\ln(t^2-1)
x=\frac{\ln (t^2-1)}{2}\)