\(\int_{}^{} cos^3(3x) dx\)
zrobilem podstawienie \(u = 3x\)
pozniej przez czesci
otrzymalem cos takiego :
\(\frac{1}{3} sinu cos ^2u + \frac{2}{3} \int_{}^{} cosu sin^2udu\)
zrobilem podstawienie:
\(k = sinu\)
ostatecznie otrzymalem: \(\frac{1}{3} sin3x cos ^23x + \frac{2}{9} (sin3x)^3 +c\)
Nie wiem czy dobrze bo wolphram nie podaje takiej odpowiedzi, ale nie podaje tez podrecznikowej odpowiedzi wiec mysle ze mozna to zapisac w innej formie ale nie wiem jak przeksztalcic.
1. czy to dobrze policzylem ?
2. jak dojsc do podrecznikowej formy?
Odp z podr.:
\(\frac{1}{9}sin3x (2+ cos^23x)+c\)
całka trygonometrycznA
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
suspicious20
- Stały bywalec
- Posty: 285
- Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
- Podziękowania: 97 razy
- Płeć:
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\(\int\cos^3(3x)\mbox{d}x=\frac{1}{3}\int\cos^3u\mbox{d}u=\frac{1}{3}\int (1-\sin^2u)\cos u\mbox{d}u=
=\frac{1}{3}\int \cos u\mbox{d}u-\frac{1}{3}\int \sin^2u(\sin u)'\mbox{d}u=\frac{1}{3}u-\frac{1}{3}\int z^2\mbox{d}z=\frac{1}{3}\sin u-\frac{1}{9}z^3+C=
=\frac{1}{3}\sin u-\frac{1}{9}\sin^3u+C=\frac{1}{9}\sin u\(3-\sin^2u\)+C=\frac{1}{9}\sin u\(2+\cos^2u\)+C=
=\frac{1}{9}\sin 3x\(2+\cos^23x\)+C\)
=\frac{1}{3}\int \cos u\mbox{d}u-\frac{1}{3}\int \sin^2u(\sin u)'\mbox{d}u=\frac{1}{3}u-\frac{1}{3}\int z^2\mbox{d}z=\frac{1}{3}\sin u-\frac{1}{9}z^3+C=
=\frac{1}{3}\sin u-\frac{1}{9}\sin^3u+C=\frac{1}{9}\sin u\(3-\sin^2u\)+C=\frac{1}{9}\sin u\(2+\cos^2u\)+C=
=\frac{1}{9}\sin 3x\(2+\cos^23x\)+C\)