Dla jakiego \(a\), funkcja jest ciągła w punkcie \((0,0)\)
\(f(x,y)=\frac{tg(x^2+ay^2)}{x^2+2y^2} dla (x,y) \neq (0,0)\) i \(f(x,y)=1\) dla \((x,y)=(0,0)\)
paramter dla którego f. jest ciągła
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\(\lim_{\small (x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=1
f(x,y)=\frac{tg(x^2+ay^2)}{x^2+2y^2} =\frac{tg(x^2+ay^2)}{x^2+ay^2}\cdot\frac{x^2+ay^2}{x^2+2y^2}
\lim_{\small (x,y)\to(0,0)}\frac{tg(x^2+ay^2)}{x^2+ay^2}=\lim_{z\to 0}\frac{tgz}{z}=1
\lim_{\small (x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+ay^2}{x^2+2y^2}=\lim_{\small (x,y)\to(0,0)}\frac{1+a\(\frac{y}{x}\)^2}{1+2\(\frac{y}{x}\)^2}=1 \Leftrightarrow a=2\)
Iloraz \(\frac{y}{x}\) może dążyć w \((0,0)\) do dowolnej granicy lub być rozbieżny, by więc granica całości wychodziła zawsze \(1\), musi być \(a=2\)
f(x,y)=\frac{tg(x^2+ay^2)}{x^2+2y^2} =\frac{tg(x^2+ay^2)}{x^2+ay^2}\cdot\frac{x^2+ay^2}{x^2+2y^2}
\lim_{\small (x,y)\to(0,0)}\frac{tg(x^2+ay^2)}{x^2+ay^2}=\lim_{z\to 0}\frac{tgz}{z}=1
\lim_{\small (x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+ay^2}{x^2+2y^2}=\lim_{\small (x,y)\to(0,0)}\frac{1+a\(\frac{y}{x}\)^2}{1+2\(\frac{y}{x}\)^2}=1 \Leftrightarrow a=2\)
Iloraz \(\frac{y}{x}\) może dążyć w \((0,0)\) do dowolnej granicy lub być rozbieżny, by więc granica całości wychodziła zawsze \(1\), musi być \(a=2\)