Oblicz granicę ciągu

[oksytocyna12]

Dzień dobry,

\(a_{n}=\sqrt(n^{2}+n)-\sqrt(n^{2}-n)=\) Moje rozwiązanie \(=\frac{ (\sqrt{n^{2}+n})^{2}- (\sqrt{n^{2}-n})^{2} }{ \sqrt{n^{2}+n}+ \sqrt{n^{2}-n} }= \frac{ \sqrt{(n^{2}+n)^{2}} - \sqrt{(n^{2}-n)^{2}} }{ \sqrt{n^{2}+n} + \sqrt{n^{2}-n} }= \frac{ \sqrt{n^{4}+2n^{3}+n^{2}} - \sqrt{n^{4}-2n^{3}+n^{2}} }{ \sqrt{n^{2}+n} + \sqrt{n^{2}-n} } =\)
\(= \frac{ \sqrt{n^{4}(1+ \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}} )} - \sqrt{n^{4}(1- \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}} )} }{ \sqrt{n^{2}(1+ \frac{1}{n} )} + \sqrt{n^{2}(1- \frac{1}{n} )} }=\) potem kolejno wyciągam \(n^{2}\) w liczniku oraz \(n\) w mianowniku, dziele każdy wyraz przez \(n^{2}\) i wychodzi mi \(\frac{0}{0}\) czyli zły wynik. Co robię źle ?

[jola]

\(a_n\ =\ \frac{ \sqrt{n^2+n}- \sqrt{n^2-n} }{1}\ \cdot \ \frac{ \sqrt{n^2+n}+ \sqrt{n^2-n} }{ \sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n} } \ =\ \frac{n^2+n-n^2+n}{n \sqrt{1+ \frac{1}{n} }+n \sqrt{1- \frac{1}{n} } }\ =\ \frac{2n}{n( \sqrt{1+ \frac{1}{n} }+ \sqrt{n- \frac{1}{n} } ) }\ =\ \frac{2}{ \sqrt{1+ \frac{1}{n} }+ \sqrt{1- \frac{1}{n} } }\)

\(\lim_{n\to + \infty } a_n\ =1\)