podzielnosc liczb

[17inferno]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n:

a) liczba \(10^{n}-(-1)^{n}\) jest podzielna przez 11

b) liczba \(10^{n}-4\) jest podzielna przez 6

c) liczba \(4^{n}+5\) jest podzielna przez 3

jak mam to wykazać dla \(n+1\) ?

[irena]

a)
\(n=1\\10-(-1)=11\\Z.\\10^k-(-1)^k=11p,\ \ p\in N_+\\T.\\10^{k+1}-(-1)^{k+1}=11t,\ \ t\in N_+\\D.\\10^{k+1}-(-1)^{k+1}=10\cdot10^k-(-1)\cdot(-1)^k=\\=10\cdot10^k+(-1)^k=10\cdot10^k-10\cdot(-1)^k+11\cdot(-1)^k=10(10^k-(-1)^k)+11\cdot(-1)^k=11p+11\cdot(-1)^k=11t\\t=p+(-1)^k\in N_+\)

[irena]

b)
\(n=1\\10-4=6\)

\(Z.\\10^k-4=6p,\ \ p\in N_+\)

\(T.\\10^{k+1}-4=6t,\ \ t\in N_+\)

\(D.\\10^{k+1}-4=10\cdot10^k-4=10^k-4+9\cdot10^k=6p+9\cdot10\cdot10^{k-1}=6p+90\cdot10^{k-1}=6t\\t=p+15\cdot10^{k-1}\ \in N_+\)

[irena]

c)
\(4^1+5=9\)

\(Z.\\4^k+5=3p,\ \ p\in N_+\)


\(T.\\4^{k+1}+5=3t,\ \ t\in N_+\)


\(D.\\4^{k+1}+5=4\cdot4^k+5=4^k+5+3\cdot4^k=3p+3\cdot4^k=3t\\t=p+4^k\ \in N_+\)