Pierwiastki kwadratowe - wyznaczanie

[alicja_91]

Witam! Chciałabym poprosić o wytłumaczenie zadania, bo nie bardzo rozumiem. Przedstawię rozwiązania:

Wyznaczyć, jeśli istnieją pierwiastki kwadratowe \(z-1\) w ciele \(F_p\) dla \(p = 2,3,5,7,11,13\)

Rozwiązanie:
\(p = \sqrt{-1}\)
\(2\)- \(1\)
\(3\) - nie ma
\(5\) - \(2\) lub \(3\)
\(7\) - nie ma
\(11\) - nie ma
\(13\) - \(5\) lub \(8\)

więc tak:
\(p = 2
-1 = 1
\sqrt{-1}=a
a^2 = -1
a^2 = 1
p = 2\)
Dlaczego \(1\)?

A tutaj \(p=11\)
\(-1 = 10
a^2 = 10
81 = 4\)
nie rozumiem, skąd się wzięło \(81=4\)?

Będę, aż to bardzo wdzięczna, za wyjaśnienie, o co tu chodzi.

[octahedron]

Chyba chodzi o to:

\(1^2\equiv 1\equiv -1\pmod{2}
2^2\equiv 4\equiv -1\pmod{5}
3^2\equiv 9\equiv -1\pmod{5}
5^2\equiv 25\equiv -1\pmod{13}
8^2\equiv 64\equiv -1\pmod{13}\)